數的整除問題奧數試題及答案

試問，能否將由1至100這100個自然數排列在圓周上，使得在任何5個相連的數中，都至少有兩個數可被3整除?如果回答：“可以”，則只要舉出一種排法;如果回答：“不能”，則需給出説明.

考點：數的整除特徵.

分析：根據題意，可採用假設的'方法進行分析，100個自然數任意的5個數相連，可以分成20個組，使得在任何5個相連的數中，都至少有兩個數可被3整除，那麼會有40個數是3的倍數，事實上在1至100的自然數中只有33個是3倍數，所以不能.

解答：假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數，

按所排列順序將它們每5個分為一組，可得20組，

其中每兩組都沒有共同的數，於是，在每一組的5個數中都至少有兩個數是3的倍數.

從而一共會有不少於40個數是3的倍數.但事實上在1至100的這100個自然數中只有33個數是3的倍數，

導致矛盾，所以不能.

答：不能.