三角形教學設計

在本章中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個內角，a, b, c分別表示它們所對的.各邊長， 為半周長。

1．正弦定理： =2R（R為△ABC外接圓半徑）。

推論1：△ABC的面積為S△ABC=

推論2：在△ABC中，有bcsC+ccsB=a.

推論3：在△ABC中，A+B= ，解a滿足 ，則a=A.

正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這裏不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數定義，BC邊上的高為bsinC，所以S△ABC= ；再證推論2，因為B+C= -A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcsC+csBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcsC+ccsB=a；再證推論3，由正弦定理 ，所以 ，即sinasin( -A)=sin( -a)sinA，等價於 [cs( -A+a)-cs( -A-a)]= [cs( -a+A)-cs( -a-A)]，等價於cs( -A+a)=cs( -a+A)，因為0< -A+a， -a+A< . 所以只有 -A+a= -a+A，所以a=A，得證。

2．餘弦定理：a2=b2+c2-2bccsA ，下面用餘弦定理證明幾個常用的結論。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則AD2= （1）

【證明】 因為c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcs ，

所以c2=AD2+p2-2ADpcs ①

同理b2=AD2+q2-2ADqcs ， ②

因為 ADB+ ADC= ，

所以cs ADB+cs ADC=0，

所以q×①+p×②得

qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=

注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式

（2）海倫公式：因為 b2c2sin2A= b2c2 (1-cs2A)= b2c2 [(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).

這裏

所以S△ABC=