圓的方程的教案

㈠課時目標

1．掌握圓的一般式方程及其各系數的幾何特徵。

2．待定係數法之應用。

㈡問題導學

問題1：寫出圓心為（a，b），半徑為r的圓的方程，並把圓方程改寫成二元二次方程的形式。 —2ax—2by+ =0

問題2：下列方程是否表示圓的方程，判斷一個方程是否為圓的方程的標準是什麼？

① ； ② 1

③ 0； ④ —2x+4y+4=0

⑤ —2x+4y+5=0； ⑥ —2x+4y+6=0

㈢教學過程

[情景設置]

把圓的標準方程 展開得 —2ax—2by+ =0

可見，任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：

+Dx+Ey+F=0 ①

提問：方程表示的曲線是不是圓？一個方程表示的曲線是否為圓有標準嗎？

[探索研究]

將①配方得 ： （ ） ②

將方程 ②與圓的標準方程對照。

⑴當 ＞0時， 方程 ②表示圓心在 （— ），半徑為 的圓。

⑵當 =0時，方程①只表示一個點（— ）。

⑶當 ＜0時， 方程①無實數解，因此它不表示任何圖形。

結論： 當 ＞0時， 方程 ①表示一個圓， 方程 ①叫做圓的一般方程。

圓的標準方程的優點在於明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了形式上的特點：

⑴ 和 的係數相同，不等於0；

⑵沒有xy這樣的二次項。

以上兩點是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件，但不是充分條件

[知識應用與解題研究]

[例1] 求下列各圓的.半徑和圓心座標。

⑴ —6x=0； ⑵ +2by=0（b≠0）

[例2]求經過O（0，0），A（1，1），B（2，4）三點的圓的方程，並指出圓心和半徑。

分析：用待定係數法設方程為 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。

[例3]已知一曲線是與兩個定點O（0，0）、A（3，0）距離的比為 的點的軌跡，求此曲線的方程，並畫出曲線。

分析：本題直接給出點，滿足條件，可直接用座標表示動點滿足的條件得出方程。

反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距離之比為定植k（k>0）的點的軌跡又如何？當k=1時為直線，k>0時且k≠1時為圓。

㈣提煉總結

1．圓的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。

2．二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件是：A=C≠0且B=0。

3．圓的方程兩種形式的選擇：與圓心半徑有直接關係時用標準式，無直接關係選一般式。

4．兩圓的位置關係（相交、相離、相切、內含）。

㈤佈置作業

1．直線l過點P（3，0）且與圓 —8x—2y+12=0截得的弦最短，則直線l的方程為：

2．求下列各圓的圓心、半徑並畫出它們的圖形。

⑴ —2x—5=0； ⑵ +2x—4y—4=0

3．經過兩圓 +6x—4=0和 +6y—28=0的交點，並且圓心在直線x—y—4=0上的圓的方程。