《二次函數的應用》教案

《二次函數的應用》教案

二次函數的應用

教學設計思想：本節主要研究的是與二次函數有關的實際問題，重點是實際應用題，在教學過程中讓學生運用二次函數的知識分析問題、解決問題，在運用中體會二次函數的實際意義。二次函數與一元二次方程、一元二次不等式有密切聯繫，在學習過程中應把二次函數與之有關知識聯繫起來，融會貫通，使學生的認識更加深刻。另外，在利用圖像法解方程時，圖像應畫得準確一些，使求得的解更準確，在求解過程中體會數形結合的思想。

教學目標：

1.知識與技能

會運用二次函數計其圖像的知識解決現實生活中的實際問題。

2.過程與方法

通過本節內容的學習，提高自主探索、團結合作的能力，在運用知識解決問題中體會二次函數的應用意義及數學轉化思想。

3.情感、態度與價值觀

通過學生之間的討論、交流和探索，建立合作意識和提高探索能力，激發學習的興趣和慾望。

教學重點：解決與二次函數有關的實際應用題。

教學難點：二次函數的應用。

教學媒體：幻燈片，計算器。

教學安排：3課時。

教學方法：小組討論，探究式。

教學過程：

第一課時：

Ⅰ.情景導入：

師：由二次函數的一般形式y= (a0)，你會有什麼聯想?

生：老師，我想到了一元二次方程的一般形式 (a0)。

師：不錯，正因為如此，有時我們就將二次函數的有關問題轉化為一元二次方程的問題來解決。

現在大家來做下面這兩道題：(幻燈片顯示)

1.解方程 。

2.畫出二次函數y= 的圖像。

教師找兩個學生解答，作為板書。

Ⅱ.新課講授

同學們思考下面的問題，可以共同討論：

1.二次函數y= 的圖像與x軸交點的橫座標是什麼?它與方程 的根有什麼關係?

2.如果方程 (a0)有實數根，那麼它的根和二次函數y= 的圖像與x軸交點的橫座標有什麼關係?

生甲：老師，由畫出的圖像可以看出與x軸交點的橫座標是-1、2;方程的兩個根是-1、2，我們發現方程的兩個解正好是圖像與x軸交點的橫座標。

生乙：我們經過討論，認為如果方程 (a0)有實數根，那麼它的根等於二次函數y= 的圖像與x軸交點的橫座標。

師：説的很好;

教師總結：一般地，如果二次函數y= 的圖像與x軸相交，那麼交點的橫座標就是一元二次方程 =0的根。

師：我們知道方程的`兩個解正好是二次函數圖像與x軸的兩個交點的橫座標，那麼二次函數圖像與x軸的交點問題可以轉化為一元二次方程的根的問題，我們共同研究下面問題。

[學法]：通過實例，體會二次函數與一元二次方程的關係，解一元二次方程實質上就是求二次函數為0的自變量x的取值，反映在圖像上就是求拋物線與x軸交點的橫座標。

問題：已知二次函數y= 。

(1)觀察這個函數的圖像(圖34-9)，一元二次方程 =0的兩個根分別在哪兩個整數之間?

(2)①由在0至1範圍內的x值所對應的y值(見下表)，你能説出一元二次方程 =0精確到十分位的正根嗎?

x 0 0.1 0.2[ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y -1 -0.89 -0.76 -0.61 -0.44 -0.25 -0.04 -0.19 0.44 0.71 1

②由在0.6至0.7範圍內的x值所對應的y值(見下表)，你能説出一元二次方程 =0精確到百分位的正根嗎?

x 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70

y -0.040 -0.018 0.004 0.027 0.050 0.073 0.096 0.119 0.142 0.166 0.190

(3)請仿照上面的方法，求出一元二次方程 =0的另一個精確到十分位的根。

(4)請利用一元二次方程的求根公式解方程 =0，並檢驗上面求出的近似解。

第一問很簡單，可以請一名同學來回答這個問題。

生：一個根在(-2，-1)之間，另一個在(0，1)之間;根據上面我們得出的結論。

師：回答的很正確;我們知道圖像與x軸交點的橫座標就是方程的根，所以我們可以通過觀看圖象就能説出方程的兩個根。現在我們共同解答第(2)問。

教師分析：我們知道方程的一個根在(0，1)之間，那麼我們觀看(0，1)這個區間的圖像，y值是隨着x值的增大而不斷增大的，y值也是從負數過渡到正數，而當y=0時所對應的x值就是方程的根。現在我們要求的是方程的近似解，那麼同學們想一想，答案是什麼呢?

生：通過列表可以看出，在(0.6，0.7)範圍內，y值有-0.04至0.19，如果方程精確到十分位的正根，x應該是0.6。

類似的，我們得出方程精確到百分位的正根是0.62。

對於第三問，教師可以讓學生自己動手解答，教師在下面巡視，觀察其中發現的問題。

最後師生共同利用求根公式，驗證求出的近似解。

教師總結：我們發現，當二次函數 (a0)的圖像與x軸有交點時，根據圖像與x軸的交點，就可以確定一元二次方程 的根在哪兩個連續整數之間。為了得到更精確的近似解，對在這兩個連續整數之間的x的值進行細分，並求出相應得y值，列出表格，這樣就可以得到一元二次方程 所要求的精確度的近似解。

Ⅲ.練習

已知一個矩形的長比寬多3m，面積為6 。求這個矩形的長(精確到十分位)。

板書設計：

二次函數的應用(1)

一、導入 總結：

二、新課講授 三、練習

第二課時：

師：在我們的實際生活中你還遇到過哪些運用二次函數的實例?

生：老師，我見過好多。如周長固定時長方形的面積與它的長之間的關係：圓的面積與它的直徑之間的關係等。

師：好，看這樣一個問題你能否解決：

活動1：如圖34-10，張伯伯準備利用現有的一面牆和40m長的籬笆，把牆外的空地圍成四個相連且面積相等的矩形養兔場。

回答下面的問題：

1.設每個小矩形一邊的長為xm，試用x表示小矩形的另一邊的長。

2.設四個小矩形的總面積為y ，請寫出用x表示y的函數表達式。

3.你能利用公式求出所得函數的圖像的頂點座標，並説出y的最大值嗎?

4.你能畫出這個函數的圖像，並藉助圖像説出y的最大值嗎?

學生思考，並小組討論。

解：已知周長為40m，一邊長為xm，看圖知，另一邊長為 m。

由面積公式得 y= (x )

化簡得 y=

代入頂點座標公式，得頂點座標x=4，y=5。y的最大值為5。

畫函數圖像：

通過圖像，我們知道y的最大值為5。

師：通過上面這個例題，我們能總結出幾種求y的最值得方法呢?

生：兩種;一種是畫函數圖像，觀察最高(低)點，可以得到函數的最值;另外一種可以利用頂點座標公式，直接計算最值。

師：這位同學回答的很好，看來同學們是都理解了，也知道如何求函數的最值。

總結：由此可以看出，在利用二次函數的圖像和性質解決實際問題時，常常需要根據條件建立二次函數的表達式，在求最大(或最小)值時，可以採取如下的方法：

(1)畫出函數的圖像，觀察圖像的最高(或最低)點，就可以得到函數的最大(或最小)值。

(2)依照二次函數的性質，判斷該二次函數的開口方向，進而確定它有最大值還是最小值;再利用頂點座標公式，直接計算出函數的最大(或最小)值。

師：現在利用我們前面所學的知識，解決實際問題。

活動2：如圖34-11，已知AB=2，C是AB上一點，四邊形ACDE和四邊形CBFG，都是正方形，設BC=x，

(1)AC=______;

(2)設正方形ACDE和四邊形CBFG的總面積為S，用x表示S的函數表達式為S=_____.

(3)總面積S有最大值還是最小值?這個最大值或最小值是多少?

(4)總面積S取最大值或最小值時，點C在AB的什麼位置?

教師講解：二次函數 進行配方為y= ，當a0時，拋物線開口向上，此時當x= 時， ;當a0時，拋物線開口向下，此時當x= 時， 。對於本題來説，自變量x的最值範圍受實際條件的制約，應為02。此時y相應的就有最大值和最小值了。通過畫出圖像，可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此時x的取值情況。在作圖像時一定要準確認真，同時還要考慮到x的取值範圍。

解答過程(板書)

解：(1)當BC=x時，AC=2-x(02)。

(2)S△CDE= ,S△BFG= ,

因此，S= + =2 -4x+4=2 +2，

畫出函數S= +2(02)的圖像，如圖34-4-3。

(3)由圖像可知：當x=1時， ;當x=0或x=2時， 。

(4)當x=1時，C點恰好在AB的中點上。

當x=0時，C點恰好在B處。

當x=2時，C點恰好在A處。

[教法]：在利用函數求極值問題，一定要考慮本題的實際意義，弄明白自變量的取值範圍。在畫圖像時，在自變量允許取得範圍內畫。

練習：

如圖，正方形ABCD的邊長為4，P是邊BC上一點，QPAP，並且交DC與點Q。

(1)Rt△ABP與Rt△PCQ相似嗎?為什麼?

(2)當點P在什麼位置時，Rt△ADQ的面積最小?最小面積是多少?

小結：利用二次函數的增減性，結合自變量的取值範圍，則可求某些實際問題中的極值，求極值時可把 配方為y= 的形式。

板書設計：

二次函數的應用(2)

活動1： 總結方法：

活動2： 練習：

小結：

第三課時：

我們這部分學習的是二次函數的應用，在解決實際問題時，常常需要把二次函數問題轉化為方程的問題。

師：在日常生活中，有哪些量之間的關係是二次函數關係?大家觀看下面的圖片。

(幻燈片顯示交通事故、緊急剎車)

師：你知道兩輛車在行駛時為什麼要保持一定的距離嗎?

學生思考，討論。

師：汽車在行駛中，由於慣性作用，剎車後還要向前滑行一段距離才能停住，這段距離叫做剎車距離。剎車距離是分析、處理道路交通事故的一個重要原因。

請看下面一個道路交通事故案例：

甲、乙兩車在限速為40km/h的濕滑彎道上相向而行，待望見對方。同時剎車時已經晚了，兩車還是相撞了。事後經現場勘查，測得甲車的剎車距離是12m，乙車的剎車距離超過10m，但小於12m。根據有關資料，在這樣的濕滑路面上，甲車的剎車距離S甲(m)與車速x(km/h)之間的關係為S甲=0.1x+0.01x2，乙車的剎車距離S乙(m)與車速x(km/h)之間的關係為S乙= 。

教師提問：1.你知道甲車剎車前的行駛速度嗎?甲車是否違章超速?

2.你知道乙車剎車前的行駛速度在什麼範圍內嗎?乙車是否違章超速?

學生思考!教師引導。

對於二次函數S甲=0.1x+0.01x2：

(1)當S甲=12時，我們得到一元二次方程0.1x+0.01x2=12。請談談這個一元二次方程這個一元二次方程的實際意義。

(2)當S甲=11時，不經過計算，你能説明兩車相撞的主要責任者是誰嗎?

(3)由乙車的剎車距離比甲車的剎車距離短，就一定能説明事故責任者是甲車嗎?為什麼?

生甲：我們能知道甲車剎車前的行駛速度，知道甲車的剎車距離，又知道剎車距離與車速的關係式，所以車速很容易求出，求得x=30km，小於限速40km/h，故甲車沒有違章超速。

生乙：同樣，知道乙車剎車前的行駛速度，知道乙車的剎車距離的取值範圍，又知道剎車距離與車速的關係式，求得x在40km/h與48km/h(不包含40km/h)之間。可見乙車違章超速了。

同學們，從這個事例當中我們可以體會到，如果二次函數y= (a0)的某一函數值y=M。就可利用一元二次方程 =M，確定它所對應得x值，這樣，就把二次函數與一元二次方程緊密地聯繫起來了。

下面看下面的這道例題：

當路況良好時，在乾燥的路面上，汽車的剎車距離s與車速v之間的關係如下表所示：

v/(km/h) 40 60 80 100 120

s/m 2 4.2 7.2 11 15.6

(1)在平面直角座標系中描出每對(v，s)所對應的點，並用光滑的曲線順次連結各點。

(2)利用圖像驗證剎車距離s(m)與車速v(km/h)是否有如下關係：

(3)求當s=9m時的車速v。

學生思考，親自動手，提高學生自主學習的能力。

教師提問，學生回答正確答案，教師再進行講解。

課上練習：

某產品的成本是20元/件，在試銷階段，當產品的售價為x元/件時，日銷量為(200-x)件。

(1)寫出用售價x(元/件)表示每日的銷售利潤y(元)的表達式。

(2)當日銷量利潤是1500元時，產品的售價是多少?日銷量是多少件?

(3)當售價定為多少時，日銷量利潤最大?最大日銷量利潤是多少?

課堂小結：本節課主要是利用函數求極值的問題，解決此類問題時，一定要考慮到本題的實際意義，弄明白自變量的取值範圍。在畫圖像時，在自變量允許取的範圍內畫。

板書設計：

二次函數的應用(3)

一、案例 二、例題

分析： 練習：

總結：

數學網