二次函數的圖象教案

2.4二次函數＝ax2+bx+c的圖象

本節課在二次函數＝ax2和＝ax2+c的圖象的基礎上，進一步研究＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，並探索它們之間的關係和各自的性質．旨在全面掌握所有二次函數的圖象和性質的變化情況．同時對二次函數的研究，經歷了從簡單到複雜，從特殊到一般的過程：先是從＝x2開始，然後是＝ax2，＝ax2+c，最後是＝a(x-h)2，＝a(x-h)2+，＝ax2+bx+c．符合學生的認知特點，體會建立二次函數對稱軸和頂點座標公式的必要性．

在教學中，主要是讓學生自己動手畫圖象，通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思[

等探索活動，使學生達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數性質的理解．並能利用它的性質解決問題．

2.4二次函數＝ax2+bx+c的圖象（一）

教學目標

(一)教學知識點[

1．能夠作出函數=a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，並能理解它與＝ax2的圖象的關係．理解a，h，對二次函數圖象的影響．

2．能夠正確説出=a(x-h)2+圖象的開口方向、對稱軸和頂點座標．

(二)能力訓練要求

1．通過學生自己的探索活動，對二次函數性質的研究，達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數性質的理解．

2．經歷探索二次函數的圖象的作法和性質的過程，培養學生的探索能力．

(三)情感與價值觀要求

1．經歷觀察、猜想、總結等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．

2．讓學生學會與人合作，並能與他人交流思維的過程和結果．

教學重點[:Wz5u.c]

1．經歷探索二次函數＝ax2+bx+c的圖象的作法和性質的過程．

2．能夠作出=a(x-h)2和=a(x-h)2+的圖象，並能理解它與＝ax2的圖象的關係，理解a、h、對二次函數圖象的影響．

3．能夠正確説出＝a(x-h)2+圖象的開口方向、對稱軸和頂點座標．

教學難點

能夠作出＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，並能夠理解它與＝ax2的圖象的關係，理解a、h、對二次函數圖象的影響．

教學方法

探索——比較——總結法．

教具準備

投影片四張

第一張：(記作2．4．1 A)

第二張：(記作2．4．1 B)

第三張：(記作2．4．1 C)

第四張：(記作2．4．1 D)

教學過程

Ⅰ．創設問題情境、引入新課

[師]我們已學習過兩種類型的二次函數，即=ax2與=ax2+c，知道它們都是軸對稱圖形，對稱軸都是軸，有最大值或最小值．頂點都是原點．還知道＝ax2+c的圖象是函數=ax2的圖象經過上下移動得到的，那麼=ax2的圖象能否左右移動呢?它左右移動後又會得到什麼樣的函數形式，它又有哪些性質呢?本節課我們就來研究有關問題．

Ⅱ．新課講解

一、比較函數＝3x2與＝3(X-1)2的圖象的性質．

投影片：(2．4 A)

(1)完成下表，並比較3x2和3(x-1)2的值，

它們之間有什麼關係?

X-3-2-101234

3x2

3(x-1)2

(2)在下圖中作出二次函數＝3(x-1)2的圖象．你是怎樣作的?

(3)函數＝3(x-1)2的圖象與=3x2的圖象有什麼關係?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點座標分別是什麼?

(4)x取哪些值時，函數＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時，函數＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減小?

[師]請大家先自己填表，畫圖象，思考每一個問題，然後互相討論，總結．

[生](1)第二行從左到右依次填：27．12，3，0，3， 12，27，48；第三行從左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27．

(2)用描點法作出＝3(x-1)2的圖象，如上圖．

(3)二次函數)＝3(x-1)2的圖象與=3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點座標不同，＝3(x-1)2的圖象的對稱軸是直線x=1，頂點座標是(1，0)．

(4)當x>1時，函數＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大，x<1時，＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減小．

[師]能否用移動的觀點説明函數=3x2與=3(x-1)2的圖象之間的關係呢?

[生]=3(x-1)2的圖象可以看成是函數)＝3x2的圖象整體向右平移得到的.

[師]能像上節課那樣比較它們圖象的性質嗎?

[生]相同點：

a.圖象都中拋物線，且形狀相同，開口方向相同．

b. 都是軸對稱圖形．

c．都有最小值，最小值都為0．

d．在對稱軸左側，都隨x的增大而減小．在對稱軸右側，都隨x的增大而增大．

不同點：

a．對稱軸不同,＝3x2的對稱軸是軸＝3(x-1)2的對稱軸是x＝1．

b. 它們的位置不問．[:Wz5u.c]

c. 它們的頂點座標不同． ＝3x2的頂點座標為(0，0),＝3(x-1)2的頂點座標為(1，0)，

聯繫：

把函數=3x2的圖象向右移動一個單位，則得到函數＝3(x-1)2的圖像．

二、做一做

投影片：(2．4．1 B)

在同一直角座標系中作出函數＝3(x-1)2和＝3(x-1)2+2的圖象．並比較它們圖象的性質．

[生]圖象如下

它們的圖象的性質比較如下：

相同點：

a．圖象都是拋物線，且形狀相同，開口方向相同．

b. 都足軸對稱圖形，對稱軸都為x＝1．

c. 在對稱軸左側，都隨x的增大而減小，在對稱軸右側，都隨x的增大而增大．

不同點：

a．它們的頂點不同，最值也不同.＝3(x-1)2的頂點座標為(1．0)，最小值為0．＝3(x-1)2+2的頂點座標為(1，2)，最小值為2．

b. 它們的位置不同．

聯繫：

把函數=3(x-1)2的圖象向上平移2個單位，就得到了函數＝3(x-1)2+2的圖象．

三、總結函數=3x2，=3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的圖象之間的關係．

[師]通過上畫的討論，大家能夠總結出這三種函數圖象之間的關係嗎?

[生]可以．

二次函數＝3x2，=3(x-1)2，=3(x-1)2+2的圖象都是拋物線．並且形狀相同，開口方向相同，只是位置不同，頂點不同，對稱軸不同，將函數＝3x2的圖象向右平移1個單位，就得到函數=3(x-1)2的圖象；再向上平移2個單位，就得到函數=3(x-1)2+2的圖象．

[師]大家還記得＝3x2與＝3x2-1的圖象之間的關係嗎?

[生]記得，把函數=3x2向下平移1個平位，就得到函數＝3x2-1的圖象．

[師]你能系統總結一下嗎?

[生]將函數＝3x2的圖象向下移動1個單位，就得到了函數=3x2-1的圖象，向上移動1個單位，就得到函數＝3x2+1的'圖象；將＝3x2的圖象向右平移動1個單位，就得到函數＝3(x-1)2的圖象：向左移動1個單位，就得到函數=3(x+1)2的圖象；由函數＝3x2向右平移1個單位、再向上平移2個單位，就得到函數＝3(x-1)2+2的圖象．

[師]下面我們就一般形式來進行總結．

投影片：(2．4．1 C)

一般地，平移二次函數=ax2的圖象便可得到二次函數為=ax2+c，＝a(x-h)2，=a(x-h)2+的圖象．

(1)將＝ax2的圖象上下移動便可得到函數=ax2+c的圖象，當c>0時，向上移動，當c<0時，向下移動．

(2)將函數＝ax2的圖象左右移動便可得到函數=a(x-h)2的圖象，當h>0時，向右移動，當h<0時，向左移動．

(3)將函數＝ax2的圖象既上下移，又左右移，便可得到函數＝a(x-h)+的圖象．

因此，這些函數的圖象都是一條拋物線，它們的開口方向，對稱軸和頂點座標與a，h，的值有關．

下面大家經過討論之後，填寫下表：

=a(x-h)2+開口方向對稱軸頂點座標

a＞0

a＜0

四、議一議

投影片：(2，4．1 D)

(1)二次函數=3(x+1)2的圖象與二次函數＝3x2的圖象有什麼關係?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點座標分別是什麼?

(2)二次函數=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數=-3x2的圖象有什麼關係?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點座標分別是什麼?

(3)對於二次函數＝3(x+1)2，當x取哪些值時，的值隨x值的增大而增大?當x取哪些值時，的值隨x值的增大而減小?二次函數＝3(x+1)2+4呢?

[師]在不畫圖象的情況下，你能回答上面的問題嗎?

[生](1)二次函數＝3(x+1)2的圖象與＝3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點座標不同，=3(x+1)2的圖象的對稱軸是直線x=-1，頂點座標是(-1，0)．只要將＝3x2的圖象向左平移1個單位，就可以得到=3(x+1)2的圖象．

(2)二次函數＝-3(x-2)2+4的圖象與＝-3x2的圖象形狀相同，只是位置不同，將函數＝-3x2的圖象向右平移2個單位，就得到=-3(x-2)2的圖象，再向上平移4個單位，就得到=-3(x-2)2+4的圖象=-3(x-2)2+4的圖象的對稱軸是直線x=2，頂點座標是(2，4)．

(3)對於二次函數=3(x+1)2和＝3(x+1)2+4，它們的對稱軸都是x＝-1，當x<-1時，的值隨x值的增大而減小；當x>-1時，的值隨x值的增大而增大．

Ⅲ．課堂練習

隨堂練習

Ⅳ．課時小結

本節課進一步探究了函數=3x2與＝3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的圖象有什麼關係，對稱軸和頂點座標分別是什麼這些問題．並作了歸納總結．還能利用這個結果對其他的函數圖象進行討論．

Ⅴ．課後作業

習題2．4

Ⅵ．活動與探究

二次函數= (x+2)2-1與= (x-1)2+2的圖象是由函數＝ x2的圖象怎樣移動得到的?它們之間是通過怎樣移動得到的?

解：＝ (x+2)2-1的圖象是由= x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到的，＝ (x-1)2+2的圖象是由= x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的．

＝ (x+2)2-1的圖象向右平移3個單位，再向上平移3個單位得到= (x-1)2+2的圖象．

＝ (x-1)2+2的圖象向左平移3個單位，再向下平移3個單位得到＝ (x+2)2-1的圖象．

板書設計

4．2．1 二次函數＝ax2+bx+c的圖象(一) 一、1. 比較函數＝3x2與＝3(x-1)2的

圖象和性質(投影片2．4．1 A)

2．做一做(投影片2．4．1 B)

3．總結函數＝3x2，=3(x-1)2= 3(x-1)2+2的圖象之間的關係(投影片2．4．1 C)

4．議一議(投影片2．4．1 D)

二、課堂練習

1．隨堂練習

2．補充練習

三、課時小結

四、課後作業

備課資料

參考練習

在同一直角座標系內作出函數=- x2,=- x2-1,=- (x+1)2-1的圖象，並討論它們的性質與位置關係．

解：圖象略

它們都是拋物線，且開口方向都向下；對稱軸分別為軸軸，直線x=-1；頂點座標分別為(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)．

=- x2的圖象向下移動1個單位得到=- x2-1 的圖象；=- x2的圖象向左移動1個單位，向下移動1個單位，得到＝- (x+1)2-1的圖象．