一次函數應用題含答案

一、 方案優化問題

我市某鄉A、B兩村盛產柑桔，A村有柑桔200噸，B村有柑桔300噸.現將這些柑桔運到C、D兩個冷藏倉庫，已知C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸；從A村運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元，從B村運往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸，A、B兩村運往兩倉庫的柑桔運輸費用分別為yA元和yB元.

（1）請填寫下表，並求出yA，yB與x之間的函數關係式；

（2）試討論A、B兩村中，哪個村花的運費較少；

（3）考慮到B村的經濟承受能力，B村的柑桔運費不得超過4830元.在這種情況下，請問該怎樣調運才能使兩村運費之和最小？求出這個最小值.

解：（1）yA=-5x+5000（0≤x≤200），

yB=3x+4680（0≤x≤200）.

（2）當yA=yB時，-5x+5000=3x+4680，x=40；

當yA>yB時，-5x+5000>3x+4680，x<40；

當yA<yb時，-5x+5000<3x+4680，x style="padding: 0px; margin: 0px; font-family: Arial, 宋體; font-size: 14px; white-space: normal; background-color: rgb(255, 255, 255);">40.

當x=40時，yA=yB即兩村運費相等；

當0≤x<40時，ya>yB即B村運費較少；

當40<x≤200時，ya<yb即a村費用較少.

（3）由yB≤4830得3x+4680≤4830∴x≤50

設兩村的運費之和為y，∴y=yA+yB.

即：y=-2x+9680.

又∵0≤x≤50時，y隨x增大而減小，

∴當x=50時，y有最小值，y最小值=9580（元）.

答：當由A村調往C倉庫的柑桔重量為50噸、調往D倉庫為150噸，由B村調往C倉庫為190噸、調往D倉庫110噸的時候，兩村的運費之和最小，最小費用為9580元.

要點提示：解答方案比較問題，求函數式時，對有圖象的，多用待定係數法求；對沒有給出圖象的，直接依題意列式子；方案比較問題通常與不等式、方程相聯繫；比較方案，即比較同一自變量所對應的函數值，要將函數問題轉化為方程、不等式問題；解答方案比較問題尤其要注意：不同的區間，對應的大小關係也多不同.

二、利潤最大化問題

某個體小服裝店主準備在夏季來臨前，購進甲、乙兩種T恤.兩種T恤的相關信息如下表：

根據上述信息，該店決定用不少於6195元，但不超過6299元的資金購進這兩種T恤共100件.請解答下列問題：

（1）該店有哪幾種進貨方案？

（2）該店按哪種方案進貨所獲利潤最大，最大利潤是多少？

（3）兩種T恤在夏季很快銷售一空，該店決定再拿出385元全部用於購進這兩種T恤，在進價和售價不變的情況下，全部售出.請直接寫出該店按哪種方案進貨才能使所獲利潤最大.

解：（1）設購進甲種T恤x件，則購進乙種T恤（100-x）件.

可得，6195≤35x+70（100-x）≤6299.

解得，20■≤x≤23.

∵x為解集內的正整數，∴x=21，22，23.

∴有三種進貨方案：

方案一：購進甲種T恤21件，購進乙種T恤79件；

方案二：購進甲種T恤22件，購進乙種T恤78件；

方案三：購進甲種T恤23件，購進乙種T恤77件.

（2）設所獲得利潤為W元.

W=30x+40（100-x）=-10x+4000.

∵k=-10<0，∴W隨x的增大而減小.

∴當x=21時，W=3790.

該店購進甲種T恤21件，購進乙種T恤79件時獲利最大，最大利潤為3790元.

（3）購進甲種T恤9件、乙種T恤1件.

要點提示：在一次函數y=kx+b中，x、y均可取一切實數.如果縮小x的取值範圍，則其函數值就會出現最大值或最小值.求一次函數的最大值、最小值，一般都是採用“極端值法”，即用自變量的端點值，根據函數的增減性，對應求出函數的端點值（最值）.

三、行程問題

從甲地到乙地，先是一段平路，然後是一段上坡路.小明騎車從甲地出發，到達乙地後立即原路返回甲地，途中休息了一段時間.假設小明騎車在平路、上坡、下坡時分別保持勻速前進.已知小明騎車上坡的速度比在平路上的速度每小時少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小時多5km.設小明出發x h後，到達離甲地y km的地方，圖1中的折線OABCDE表示x與y之間的函數關係.

（1）小明騎車在平路上的速度為 km/h；他途中休息了 h；

（2）求線段AB、BC所表示的y與x之間的函數關係式；

（3）如果小明兩次經過途中某一地點的時間間隔為0.15h，那麼該地點離甲地多遠？

解：（1）小明騎車在平路上的速度為：

4.5÷0.3=15，

∴小明騎車在上坡路的速度為：15-5=10，

小明騎車在下坡路的速度為：15+5=20.

∴小明返回的時間為：

（6.5-4.5）÷20+0.3=0.4小時，

∴小明騎車到達乙地的時間為：   0.3+2÷10=0.5.

∴小明途中休息的時間為：

1-0.5-0.4=0.1小時.

故答案為：15，0.1

（2）小明騎車到達乙地的時間為0.5小時，

∴B（0.5，6.5）.

小明下坡行駛的時間為：2÷20=0.1，

∴C（0.6，4.5）.

設直線AB的解析式為y=k1x+b1，由題意

得4.5=0.3k1+b16.5=0.5k1+b1，解得：k1=10b1=1.5，

∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；

設直線BC的解析式為y=k2x+b2，由題意

得6.5=0.5k2+b24.5=0.6k2+b2，解得：k2=-20b2=16.5，

∴y=-20x+16.5（0.5<x≤0.6）

（3）小明兩次經過途中某一地點的時間間隔為0.15h，由題意可以得出這個地點只能在坡路上.設小明第一次經過該地點的時間為t，則第二次經過該地點的時間為（t+0.15）h，由題意

得10t+1.5=-20（t+0.15）+16.5，

解得：t= 0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，

∴該地點離甲地5.5km.

要點提示：行程類一次函數試題以圖象、點座標相組合的形式呈現，靈活性強，對學生分析問題、解決問題的能力要求較高，重在考查學生的識圖能力和創新意識.解決圖象中的行程問題除了要掌握好路程、速度和時間三者之間的基本關係外，最重要的'是要學會從圖象中獲取信息，理清各變量之間的關係，然後根據題意選擇適當的解題方法.

四、分段計費問題

已知某市2013年企業用水量x（噸）與該月應交的水費y（元）之間的函數關係.

（1）當x≥50時，求y關於x的函數關係式；

（2）若某企業2013年10月份的水費為620元，求該企業2013年10月份的用水量；

（3）為實施省委“五水共治”發展戰略，鼓勵企業節約用水，該市自2014年1月開始對月用水量超過80噸的企業加收污水處理費，規定若企業的月用水量x超過80噸，則除按2013年收費標準收取水費外，超過80噸部分每噸另加收■元.若某企業2014年3月份的水費和污水處理費共600元，求這個企業該月的用水量.

解：（1）設y關於x的函數關係式y=kx+b，

∵直線y=kx+b經過點（50，200），（60，260）

∴50k+b=20060k+b=260解得k=6b=-100

∴y關於x的函數關係式是y=6x-100（x≥50）；

（2）由可知，當y=620時，x>50

∴6x-100=620，解得x=120.

答：該企業2013年10月份的用水量為120噸.

（3）由題意得6x-100+■（x-80）=600，

化簡得x2+40x-14000=0

解得：x1=100，x2=-140（不合題意，捨去）.

答：這家企業2014年3月份的用水量是100噸.

要點提示：分段函數的特徵是不同的自變量區間所對應的函數式不同，其函數圖象是一個折線.解決分段計費問題，關鍵是要與所在的區間相對應.分段函數中“折點”既是兩段函數的分界點，同時又分別在兩段函數上，在求解析式時要用好“折點”座標，同時在分析圖象時還要注意“折點”所表示的實際意義，“折點”的縱座標通常是不同區間的最值.

2015年第3期《鋭角三角函數》參考答案

1.D；2.A；3.B；4.■；5.9■；6.2■；7.120；

8. 解：（1）■-3tan30°+（π-4）0-（■）-1=2■-3×■+1-2=■-1

（2）■（2cos45°-sin60°）+■

=■（2×■-■）+■

=2-■+■=2

9. 解：過點A作直線BC的垂線，垂足為D.

則∠CDA=90°，

∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米，

在Rt△ACD中，

tan∠CAD=■，

∴AD=■=■=80■，

在Rt△ABD中，tan∠BAD=■，

∴BD=ADtan30°=80■×■=80，

∴BC=CD-BD=240-80=160.

答：這棟大樓的高為160米.

10.解：在Rt△CDB中，∠C=90°，

BC=■=■=4，

∴tan∠CBD=■.

在Rt△ABC中，∠C=90°，

AB=■=4■，

∴sinA=■.