《橢圓及其標準方程》説課稿

尊敬的各位評委、各位老師：

大家好！

我説課的題目是人教版普通高中課程選修2-1第二章第一節《橢圓及其標準方程》。下面我就教材分析、學生情況分析、教學目標、教法與學法、教學過程的設計、板書設計、教學設計説明這幾方面內容向大家進行闡述。

一、教材分析

圓錐曲線是高中數學中十分重要的內容，它的許多幾何性質在日常生活、生產和科學技術中都有着廣泛的應用。本節是《圓錐曲線與方程》的第一節課，主要學習橢圓的定義和標準方程。它是本章也是整個解析幾何部分的重要基礎知識，原因如下：

第一，在教材結構上，本節內容起到一個承上啟下的重要作用。前面學生用座標法研究了直線和圓，而對橢圓概念與方程的研究是座標法的深入，也適用於對雙曲線和拋物線的學習，更是解決圓錐曲線問題的一種有效方法。

第二，對橢圓定義與方程的研究，將曲線與方程對應起來，體現了函數與方程、數與形結合的重要思想。而這種思想，將貫穿於整個高中階段的數學學習。

第三，對橢圓定義與方程的探究過程，使學生經歷了觀察、猜測、實驗、推理、交流、反思等理性思維過程，培養了學生的思維方式，加強了運算能力，提高了他們提出問題、分析問題、解決問題的能力，為後續知識的學習奠定了基礎。

二、學生情況分析

1.在學習本節內容以前，學生已經學習了直線和圓的方程，初步瞭解了用座標法求曲線的方程及其基本步驟，經歷了動手實驗、觀察分析、歸納概括、建立模型的基本過程，這為進一步學習橢圓及其標準方程奠定了基礎。

2.經過兩年的高中學習，學生的計算能力、分析解決問題的能力、歸納概括能力、建模能力都有了明顯提高，使得進一步探究學習本節內容成為可能。但是，在本節課的學習過程中，橢圓定義的歸納概括、方程的推導化簡對學生是一個考驗，可能會有一部分學生探究學習受阻，教師要適時加以點撥指導。

三、教學目標

根據學生的實際、課標的要求和本節課內容的特點，教學目標確定如下：

（一）教學目標

1.通過觀察、實驗、證明等方法的運用，讓學生理解橢圓的定義，掌握橢圓

標準方程的兩種形式，並根據條件會求橢圓的標準方程。

2.通過對橢圓的認識及其方程的推導，培養學生的分析、探究、抽象、概括等邏輯思維能力，加強用座標法解決圓錐曲線問題的能力。

3.鼓勵學生大膽猜想、論證，激發學生的學習熱情，使他們獲得成功的體驗。

（二）教學重點和難點

1.重點：感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的標準方程及其推導方法。

2.難點：橢圓標準方程的推導。

四、教法與學法

1．教法

為了使學生更主動地參加到課堂教學中，體現以學生為主體的探究性學習和因材施教的原則，故採用自主探究法。按照“創設情境——自主探究——建立模型——拓展應用”的模式來組織教學。

2．學法

在教學過程中，要充分調動學生的積極性和主動性，為學生提供自主學習的時間和空間。讓他們經歷橢圓圖形的形成過程、定義的歸納概括過程、方程的推導化簡過程，主動地獲取知識。

3．教學準備

(1)學生準備：一支鉛筆、兩個圖釘、一根細繩、一張硬紙板。

(2)教師準備：用幾何畫板製作的相關課件。

五、教學過程的設計

（一）創設情境，複習引入

首先，提出問題：“前一段時間我們學習了直線和圓的方程，用到了兩種方法，是什麼呢？”學生經過回憶，容易得出結論。這時，教師指出：這兩種方法是解析幾何中研究曲線與方程常用的方法。

接下來我用課件演示一些天體運行的軌跡圖，並提出問題：“這些天體運行的軌跡是什麼呢？”

學生經過觀察，很直觀地看出是橢圓，從而引出課題。

再次提問：“我們能否求出這些天體運行的軌跡方程呢？學習了本節課的內容，就可以解決這個問題。”

這樣設計的意圖是：一方面，通過複習前面學過的有關知識，喚起學生的記憶，為本節課學習作好鋪墊。另一方面，藉助多媒體生動、直觀的演示，使學生明確學習橢圓的重要性和必要性。同時，激發他們探求實際問題的興趣，使他們主動、積極地參與到教學中來，為後面的學習做好準備。

（二）動手實驗，歸納概念

“一石激起千層浪”，一個富有挑戰性的問題，將會把學生帶入自主探究的情境中去。此時，學生已經有了濃厚的學習興趣，我繼續提問：“你們還記得前面我們不用圓規是怎樣畫出圓的圖形的？又是怎樣給圓下定義的？”在學生回答後，我用課件演示圓的形成過程。

接着，我讓學生拿出事先準備好的學具，動手實驗。類比畫圓的過程，看能否畫出橢圓，並給予指導。待大多數學生都有了結果後，我再用課件演示畫橢圓的過程。提出問題：“在畫圖的過程中，哪些量發生了變化，哪些量沒有變？”

讓學生根據自己的實驗，觀察回答：“兩定點間的距離沒變，繩子的長度沒變，點在運動。”

我繼續提問：“你們能根據剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，歸納概括出橢圓的定義嗎？”

先讓學生獨立思考一分鐘，然後同桌交流，再進行全班交流，逐步完善，概括出橢圓的定義。

橢圓的定義：

平面內與兩個定點的距離之和等於常數（r;"/>" v:shapes="_x0000_i1028" alt="" />|）的點的軌跡叫做橢圓。定點叫做橢圓的焦點，間的距離叫做橢圓的焦距。得到橢圓的定義後，我會引導學生對定義中的關鍵詞進行分析理解，幫助學生更好地領會橢圓的定義。

此時，可能會有學生提出：“為何‘常數’要大於兩定點間的距離呢？等於、小於又如何呢？”

我不急於告訴學生答案，先讓學生思考並發表自己的見解，最後再用課件演示進行説明。

這樣設計的意圖是：以活動為載體，讓學生在“做”中學數學，通過畫橢圓，經歷知識的形成過程，積累感性經驗。同時，我力求改變單一、被動的學習方式，讓學生成為學習的主人，給他們提供一個自主探索學習的機會，讓他們通過觀察、討論，歸納概括出橢圓的定義，這樣既獲得了知識，又培養了學生抽象思維、歸納概括的能力。

（三）啟發引導，推導方程

提出了問題就要解決問題，怎麼推導橢圓的標準方程呢？讓學生運用研究直線與圓的方程的方法——座標法，去推導橢圓的方程。本環節我按如下幾個步驟進行：

（1）建立直角座標系，設出動點的座標

我啟發學生類比求圓的方程的建系方法，建立適當的直角座標系。學生可能會有如下幾種建系方案：

方案1：以定點F1為原點，兩定點的連線為X軸；

方案2：以定點F2為原點，兩定點的連線為X軸；

方案3：以兩定點的連線為X軸，其垂直平分線為Y軸；

方案4：以兩定點的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸。

我加以引導：根據建立座標系的一般原則，使點的座標、幾何量的表達式簡單化，並使得到的方程具有“對稱美”“簡潔美”的特點，你們會選擇哪種方案呢？經過討論，大多數學生可能會選擇方案3或方案4來推導橢圓的標準方程，我表示贊同。按方案3建系，引導學生設出動點M的座標及相關常數。

（2）寫出動點M滿足的集合

這裏我啟發學生根據橢圓的定義，寫出動點M滿足的集合，即：

P＝｛M |│MF1│+│MF2│| =2a｝

如果學生有困難，可以安排進行小組討論交流。

(3)座標化

引導學生在設點的基礎上,將前面得到的關係式用座標表示出來。這裏學生不會有太大的困難,絕大多數學生都能得到方程:

(4)化簡

帶根式的方程的化簡，學生會感到困難,這也是教學的`一個難點。特別是由點適合的條件列出的方程為兩個二次根式的和等於一個非零常數的形式，化簡時要進行兩次平方,且方程中字母多,次數高，初中代數中沒有做過這樣的題目，教學時，要注意説明這類方程的化簡方法。一般來説：

①方程中只有一個二次根式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其它各項移到另一邊，平方一次；②方程中有兩個二次根式時，需將它們分散，放在方程的兩邊，使其中一邊只有一個根式，平方兩次。

接着讓學生自己動手開始化簡。我安排一名程度較好的學生上來板演，以便點評。待大多數學生都有了結果

之後，我指出：這個方程還不夠簡潔對稱，讓學生觀察圖形：

提出問題：“你們能從圖中找出表示a、c、

的線段嗎？”

通過觀察，學生容易得出結論，並理解了換元的合理性。這樣不僅使方程具有了對稱性，而且使字母b也有了明確的幾何意義。從而將方程簡化為：

告訴學生:可以證明它就是橢圓的方程，我們稱它為橢圓的標準方程。

小結：這樣用座標法推導出了橢圓的標準方程，也是求曲線方程的一般方法，總結步驟為：（1）建系設點（2）寫出動點滿足的集合（3）列式（4）化簡

這樣設計的意圖是：使學生完全成了學習的主人，由被動的接受變成主動的獲取。通過討論，讓學生互相交流，互相學習，培養他們的合作意識和謙虛好學的品質。在師生互動的過程中，讓學生體會數學的嚴謹，使他們的觀察能力、運算能力、推理能力得到訓練，滲透數形結合的數學思想。並感受橢圓方程、圖形的對稱美，獲得成功的喜悦！

(四)拓展引申，對比分析

本環節我首先提出問題：“剛才我們得到了焦點在X軸上的橢圓方程，如何推導焦點在Y軸上的橢圓的標準方程呢？”

學生可能不假思索地回答：“按方案4建系再推一遍”。

我啟發：“可以，還有別的方法嗎？”

學生經過觀察思考會發現，只要交換座標軸就可以了，從而得到了焦點在Y軸上的橢圓的標準方程：

接下來，我通過表格的形式，讓學生對兩種方程進行對比分析，強化對橢圓方程的理解。

橢圓的定義

分 類

焦點在x軸上

焦點在y軸上

圖 像

標準方程

焦點座標

a. b .c關係

這樣設計的意圖是：通過填表，進行對比總結，不僅使學生加深了對橢圓定義和標準方程的理解，有助於教學目標的實現，而且使學生體會和學習類比的思想方法，為後邊雙曲線、拋物線及其它知識的學習打下基礎。

（五）範例教學，鞏固練習

學會了知識就要運用知識。我設計瞭如下例題：

【例1】根據橢圓的標準方程，判斷焦點的位置，並求其座標（口答）：

（1）

（2）

（3）

【例2】求適合下列條件的橢圓的標準方程：

（1）已知橢圓的焦點座標是F1（－4，0）、F2（4，0），橢圓上任一點到F1、F2的距離之和為10，求橢圓的標準方程。

（2）兩個焦點的座標分別是（0，－2）、（0，2），並且橢圓經過點（￣

(分析後多媒體顯示過程)

【強化提高——嫦娥奔月】

2007年10月24日中國“嫦娥”一號衞星成功實現第一次近月制動，衞星進入距月球表面近月點高度約210公里，遠月點高度約8600公里，且以月球的球心為一個焦點的橢圓形軌道。已知月球半徑約3475公里，試求“嫦娥”一號衞星運行的軌跡方程。

這樣設計的意圖是:例1、例2從基礎入手，通過練習，使學生更好地理解橢圓標準方程的兩種形式，各個量之間的關係，掌握求橢圓標準方程的方法。設計“嫦娥奔月”題，目的在於聯繫現實，逐層深入，由易到難，不僅激發了學生的學習興趣和探究精神，而且使他們深刻地體會到數學來源於生活,又服務於生活實際，學以致用。

（六）歸納小結，佈置作業

到這裏，本節課的主要內容也學習完了，讓學生歸納總結，這節課學到了什麼知識？掌握了什麼方法？還有什麼問題？教師再概括。

（1）歸納小結

①兩種類型的橢圓方程的比較（注意板書內容）

②總結判斷焦點位置的方法。（看大小）

③求曲線方程的方法：座標法，步驟：（1）（2）（3）（4）

（2）佈置作業

1．必做題：教材P40 1，2，3

2．選做題：求與圓（x-2）2+y2=1外切，且與圓（x+2）2+y2=49內切的動圓圓心的軌跡方程。

這樣設計的意圖是:歸納小結由學生來完成，使他們及時發現並糾正自己學習中存在的問題，培養學生學習的主動性和良好的學習習慣。作業由易到難，分必做題和選做題，體現分層教學的思想，提高學生的學習積極性，使各層次的學生都找到各自的學習區，進一步促進教學目標的實現。

五、教學設計説明

1、教育學家波利亞説得好：“學習任何知識的最佳途徑即是由自己去發現，因為這種發現，理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯繫。”因此，我在教學時，盡力把學習主動權交給學生，讓學生在自主探索中學到知識，掌握方法，提高能力。

2、在生活中找數學，用數學知識解決生活中的實際問題，體現了數學的發現和創造過程，加深了學生對數學本質的理解，激發了他們學習數學的興趣。

3、整節課藉助多媒體，利用幾何畫板創設意境，使得學習內容直觀、生動，並巧妙的把待解決的問題轉化為以前學過的問題，讓學生在不知不覺中掌握了數學知識。

這就是我對本節課的設計和説明，希望大家批評指正！謝謝!