中小學生數學知識觀的調查研究論文

1前言

數學觀是人們對數學的認識和看法。由於研宄領域、研宄視角等方面的不同，研宄者對數學觀的內涵有着不同的分析。在哲學範疇裏，數學觀是世界觀的一部分，是對數學本質的認識。而在數學教育領域裏，數學觀是學習與教學觀念系統中的一種。綜合索梅(Schommer)對一般學習觀的分析以及舍恩費爾德(Schoenfeld)對學生數學觀的研宄，劉儒德等人提出中小學生的數學觀由數學知識觀、數學學習觀和數學自我概念三部分構成。其中，數學知識觀涉及對數學知識的確定性問題、簡單性問題、社會性問題以及數學的價值等認識|1]。張奠宙等人有着類似的看法。他們認為學生在數學學習中的信念或觀念涉及到三個方面:關於數學的信念、關於數學學習的信念、關於自己的信念|21。

學生的數學觀作為一種元認知知識，是學生先前經驗中重要的組成部分。學生的數學觀制約數學學習，影響學生的數學學習動機、學習策略、學習成績等。同時，學生的數學觀也是數學學習的結果之一，是在學校數學學習過程中發展起來的。香港中文大學以黃毅英為主的數學觀研宄小組的一些研宄結果表明，許多學生認為數學是符號與數字的運算，涉及思考且有實用性因而他們的問題解決方式十分機械化，問題解決行為被“數學課堂文化”。國外不少研宄表明學生的數學觀與學校數學經歷緊密相關，因而一些教學干預研宄希望通過改變數學課堂學習環境來提升學生的數學觀。

目前，國內對學生數學觀進行理論探討的比較多，而微觀層次上的實證性研宄比較少而且深度不夠，一些描述性結論還需要進一步的驗證。比如我國中小學生數學觀是否存在差異？不同數學學業水平學生的數學觀是否存在差異？這些方面都還缺乏直接的實證證據.

本研宄旨在探討中小學生數學觀中的數學知識觀。具體地來説，本研宄選取小學六年級和初二學生作為研宄對象借鑑黃毅英的研宄材料，採用假設性情境題目和數學認識問卷分析中小學生的數學知識觀，同時考察兩個研宄變量：年級和學業水平。我們希望能夠了解中小學生的數學知識觀的特點及發展，為後繼研宄累積資料。

2研究方法

2.1被試

有效被試為温州市一所小學的六年級兩個班共90名學生，以及一所中學的.初二年級兩個班共106名學生.其中，男生101人，女生95人。請這四個班級的數學教師根據學生的平時數學學習情況，取數學成績排名前面的約20%學生為優秀學生，數學成績排名後面的約20%學生為後進學生，中間的60%為中等學生，結果區分出優秀學生38人，中等學生125人，後進學生33人。

22測查工具

本研宄所採用的問卷由兩部分構成。第一部分是12道假設性情境題目，取材於黃毅英所使用的研宄材料。請學生判斷這12種假設性情境是不是在做數學或用數學，回答“是”記1分，回答‘否’記0分。第二部分是改編的數學認識問卷。參考黃毅英等人對學生數學觀的分析|31，問卷包括三個維度維度一是“數學涉及運算”，包括3個項目，Cronbacha係數為0.572考察學生對數學與運算關係所持的態度。維度二是‘數學涉及思考”，包括8個項目，Cronbacha係數為0.620,旨在考察學生對數學涉及思考的認i識維度三是“數學具有實用性”，包括9個項目，Cronbacha係數為0.883,旨在考察學生對數學具有實用性的認識。一共由20道題目，部分取材於東北師範大學於卓的碩士論文。題目採用利克特量表五級評定：很不同意”、“比較不同意”、“不確定”、“比較同意”、“很同意’，分別記分為“1”、“234”、“5”；否定性題目反向計分。

23調查過程

問卷施測是在兩所學校放學後以班級為單位集中進行的，整個過程約需15-20分鐘。

24數據處理

採用SPSS10.0統計軟件處理和分析數據。

3研究結果

31被試對假設性情境回答的人數百分比

表1為被試認同12道假設性情境是做數學或用數學的人數百分比。總體上看，按照被試認同做數學或用數學的人數百分比從高到低，題目排列為Ts>T4>T6>T12>T1>T2>T7>T0>T11>T3=T9。被試對假設性情境認同程度

差異比較大，可分為三個水平，前面的T5、T4、T6這3道題的認同程度均在80%以上；中間的T12、T1、T2、T7這4道題認同程度約在50%-60%之間；後面的TK)、Tn、T8、丁3、乃這5道題學生認同程度低於三分之一(33.3%)另外，在每道題目上初二年級的認同程度都高於小學六年級。按照認同程度，六年級學生的題目排列為Ts>T4>T6>Ti2>T1>Tx>T7>

由表2可見，從總體上看，年級主效應極其顯著初二學生認同程度顯著地高於六年級學生，學業水平的主效應不顯著也不存在年級與學業水平的交互作用。就具體題目而言，T2、T5、T6、T7、T9、T12這6道題存在顯著或極顯著的年級差異，題

表3運算、思考、實用性

目T12存在顯著的學業水平的差異，題目T4、Ti〇存在顯著的年級和學業水平的交互作用.

33被試在數學涉及運算、思考、實用性三個維度上得分的方差分析

被試在數學涉及運算、數學涉及思維、數學的實用性三個維度得分的描述性分析及方差分析的結果見表3、表4。

由表3可見，就總體而言，被試在數學涉及運算維度上平均得分是10.06在從最低分3分到最高分15分的連續體上處於中上位置;在數學涉及思考維度上平均得分是31.26在從最低分8分到最高分40分的連續體上處於高分位置;在數學實用性維度上平均得分是37.32從最低分9分到最高分45分的連續體上處於高分位置。

由表4可見在數學涉及運算維度上，年級主效應不顯著，學業水平的主效應顯著，不存在年級與學業之間的交互作用；事後分析表明，中等生的得分最高，並且顯著地高於後進生(p=0.014)在數學涉及思考維度上，年級主效應沒有達到顯著水平;學業水平的主效應不顯著；不存在年級與學業水平之間的交互作用。在數學實用性維度上，年級主效應極顯著，六年級學生的得分顯著地高於初二學生;學業水平的主效應不顯著;不存在年級與學業水平之間的交互作用。

4討論

4.1學生數學知識觀的基本情況分析

在假設性情境判斷中，認同程度超過80%的3道題目所涉及的內容是長度測量、分數大小比較、用計算器進行加法計算這些都是屬於數學課程中的基本內容。認同程度在50%一60%之間的題目所涉及的內容是估算估計、抽象的圖形（正弦曲線）這些是屬於數學課程中的選學內容或高年級的學習內容。認同程度低於三分之一的題目所涉及的內容是單純的觀察、生活中的判斷選擇、具體的圖形，這些內容及其表述都

相當生活化，很少出現在數學教材中。

由於算術運算是數學課程中的一個基礎內容，因此學生在判斷各種假設性情境時，無論是估算、測量還是數字比較，都有很強的做運算的傾向，如果覺得這些情境中會有數學運算，就判斷是做數學或用數學。這一點驗證了黃毅英等人提到的學生認為數學是‘可計’的研宄結果|3)。例如，題目Ti、T7、Tn的內容都涉及到估計，但學生的認同程度分別屬於三個水平，這説明學生在判斷時並不認為估計本身就是數學，而主要是看是否涉及數字與運算。另外，值得注意的是題目T6表明學生己經普遍接受利用計算器來進行計算，而在黃毅英1996年的研宄中不少學生不贊成用計算器計算是做數學，因為‘不是他自己算，是機器算出來的”。這説明隨着時代的發展計算器與計算機己經進入數學課堂。另一方面，黃毅英等人研宄認為學生對幾何圖形的認識受到壓抑;在本研宄中，學生對圖形還是區別對待的，他們比較能夠認同抽象的曲線而不是具體的拼圖。

在數學認識的三個維度上，學生在很大程度上肯定了數學涉及思考、數學的實用性，表現出比較高的理論認識水平；而只是在中等程度上肯定數學涉及運算，這説明隨着數學課程經驗的積累，高年級小學生和初中生己經不再把數學狹隘地理解為等同於運算，或者説學生認識到涉及運算的是數學但是數學不等於運算。

在本研宄中，假設性情境判斷與數學認識問卷結果之間存在某些不一致性。比如，雖然學生在回答問卷時相當強調數學與社會實踐以及日常生活之間的聯繫，但在判斷假設性情境時卻傾向於把在日常生活有廣泛應用的數學如記錄、觀察、數學決定等方面看成是與數學無關的。對此的解釋是學生對假設性情境的判斷折射出的是一種對數學知識性質的素樸、內隱的認識;學生對問卷題目的回答直接反映了一種對數學知識性質的理論上的認識。學生數學知識觀作為一種個體認知的結果，未必是一種系統的整合的觀念系統，至少存在兩個層次的認識:一個層次是素樸、直覺、內隱的認識，不一定能夠有意識地提取但卻能支配數學行為，來源於個體對數學經驗的表面的直覺的概括;另一個層次是理論上的認識，直接來源於學校教育。劉儒德等人在解釋開放式問卷與封閉式問卷所反映出的數學知識觀之間的不一致性時有過類似的分析|6]。

42中小學生數學知識觀的比較

在對假設性情境的判斷上，初二學生的認同程度顯著地高於六年級學生。這種年級效應直接驗證了學生數學課程學習經驗在很大程度上影響他們的數學知識觀。小學生的數學課程內容主要是算術知識與簡單的幾何圖形，而初二學生開始比較系統地學習代數、幾何等數學學科基礎知識，因而對數學知識的豐富性有更充分的認識.

在數學涉及運算和數學涉及思考兩個維度上，初二學生的肯定程度都比六年級學生高但沒有表現出顯著差異。在數學實用性上初中學生的肯定程度卻顯著下降。對此可能的解釋是:其一，初中的數學課程內容更具有抽象性。小學的算術知識與日常生活的聯繫很直接學生接觸到數學語言與曰常語言比較接近;而初中學習的數學知識與日常生活之間直接聯繫比較少而且學生需要熟悉不同於日常語言的數學語言系統。其二，由於面臨學生升入高中的考試壓力等，我國初中數學教育的目的帶有更多的功利性特點而遠離其實用‘性。

43學業水平與學生數學知識觀

許多研宄調查了學生的學習觀、知識觀與學習動機、學習過程及學業成績之間的關係，結果都表明，學生是否具備正確的和成熟的學習觀與他們的學業表現有非常密切的聯繫111。而在本研宄中，不管是假設性處境判斷還是數學認識問卷的結果都不能表明學業水平對數學知識觀的明確的影響。對於這種現象，我們的解釋是:其一，不同學業水平學生的數學觀的差異，主要表現在數學學習觀與數學自我概念上而在數學知識觀上則表現出較多的一致性其二，在特定的學校文化環境中，由教師和各個學生組成了學習共同體。學習共同體中的成員相互影響，形成某些共識。而這些共識一旦確立，就獲得了很強的生命力，在很大程度上制約個體行為。學生的數學知識觀正是這些共識中的一類內容。其三本研宄中假設性情境判斷題目所涉及的數學知識難度並不高。如果增加數學知識的難度，學生學業水平對其判斷的影響可能加強。比如，題目乃2存在學業水平的顯著差異而內容涉及到的是正弦曲線。

5結論

51中小學生數學知識觀形成及發展與學校數學課程內容緊密相關。同時，數學知識觀既有素樸、直覺、內隱的認識層次也有理論上的認識層次。

52中小學生數學知識觀存在差異。在對假設性情境的判斷上，初二學生的認同程度顯著地高於六年級學生；在數學認識問卷上，在數學涉及運算、數學涉及思考兩個維度上不存在年級差異，在數學實用性上，六年級學生的肯定程度顯著地高於初二學生。

53從總體上看，學生的學業水平與數學知識觀的關係不大。