高中求最值的方法總結

三角函數的最值或相關量的取值範圍的確定始終是三角函數中的熱點問題之一。以下是小編整理的高中求最值的方法總結,歡迎大家前來查閲。

方法一：利用單調性求最值

學習導數以後，為討論函數的性質開發了前所未有的前景，這不只侷限於基本初等函數，凡是由幾個或多個基本初等函數加減乘除而得到的新函數都可以用導數作為工具討論函數單調性，這需要熟練掌握求導公式及求導法則，以及函數單調性與導函數符號之間的'關係，還有利用導數如何求得函數的極值與最值。

例1 已知函數，當x∈[-2，2]時，函數f(x)的圖象總在直線y=a-e2的上方，求實數a的取值範圍。

分析：此題屬於恆成立問題，恆成立問題大都轉化為最值問題。

解：原問題等價於f(x)>a-e2恆成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恆成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恆成立。

令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原問題等價於a  下面利用導數討論g(x)的最小值，求導可得g'(x)=x(1-ex)。

當x∈[-2，0]時，g'(x)≤0，從而g(x)在[-2，0]上單調遞減;

當x∈(0，2]時，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也單調遞減。

所以g(x)在[-2，2]上單調遞減，從而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)

評註：本題是求參數的取值範圍問題，利用等價轉化的思想可化為不等式恆成立問題，進而化為最值問題，再借助於導數討論函數的單調性求出的最值。其實高中階段接觸到的最值問題大都可以運用單調性法求得最值。

方法二：利用不等式求最值

掌握和靈活運用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││這一類型的基本不等式，在求一些函數最值問題時通常十分便捷，在解題時務必注意考慮利用不等式求最值的條件限制 。

例2 若x∈R，且0  分析：本題可以運用單調性法求最值，但是較麻煩，下面介紹一種新的方法。

解：。

由0  則，若且唯若，即時取等號。

故當時，取得最小值9。

例3 求使不等式│x-4│+│x-3│  分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁;用絕對值不等式的性質求解卻十分方便。

解：令f(x)=│x-4│+│x-3│原不等式有解，只需a>f(x)min，而f(x)=│x-4│+│x-3│≥│(x-4)-(x-3)│=1，若且唯若x∈[3，4]時，等號成立。

所以f(x)min=1，因此的a取值範圍是a∈[1，+∞]。

評註：例2表面上看本題不能使用基本不等式，但只要稍留心便能從兩個分母中發現“名堂”，一個分母是，另一個分母是，兩數之積正好為“1”，於是巧乘得“1”便可利用基本不等式。其實，即便不是“1”也可類似處理，只是式子前面要多乘一個係數。例4採用了絕對值三角不等式快捷的求出了參數的取值範圍。

方法三： 數形結合法

將一些抽象的解析式賦予幾何意義，然後通過圖形的屬性及數量關係進行“數”與“形”的信息轉換，把代數的問題等價性的用幾何的方法來求解，使之求解更簡單、快捷，也是解決最值問題的一種常用方法。

例4 已知實數x、y滿足等式x2+y2-6x-6y+12=0，求的最值。

分析：如果把等式看成圓的一般式，那麼就有點(x，y)在圓(x-3)2+(y-3)2=6上，那麼表示該點與原點連線的斜率.由於圓位於第一象限，若過原點作圓的兩切線OA、OB(A，B為切點)，則的最值分別是直線OA、OB的斜率。

解：設，即y=kx，∴，

整理為k2-6k+1=0。解得。