求函數最值的方法總結

一般的，函數最值分為函數最小值與函數最大值。簡單來説，最小值即定義域中函數值的最小值，最大值即定義域中函數值的最大值。下面就是小編整理的求函數最值的方法總結，一起來看一下吧。

函數的最值問題既是歷年高考重點考查的內容之一，也是中學數學的主要內容。函數最值問題的概念性、綜合性和靈活性較強，考題的知識涉及面較廣，對於學生的分析和邏輯推理能力要求較高。通過對函數最值問題的相關研究，結合自身的感觸和學習的心得，總結歸納出了求解函數最值的幾種常用的方法，並討論了學習函數最值求解中應該注意的問題，這將有利於提高學生的數學建模能力和解題能力。文章主要通過舉例説明的方式來闡述求解函數最值的幾種常用解法，希望對培養學生數學學習能力，提高學生的解題能力有所幫助。

函數f（x）在區間I上的最大值和最小值問題，本質上是一個最優化的問題。求解函數最大值與最小值的實際問題，包括三方面的工作：一是根據實際問題建立目標函數，通常總是選取待求的最優量為因變量：二是按上述的求解方法求出目標函數在相應區間上的最大值或最小值；三是對所求得的解進行相應實際背景的幾何意義的解釋。同時一方面要深刻理解題意，提高閲讀能力，要加強對常見的數學模型的理解，弄清其產生的實際背景，把數學問題生活化；另一方面要不斷拓寬知識面，提高間接的生活閲歷，如瞭解一些諸如物價、行程、產值、利潤、環保等實際問題，也涉及角度、面積、體積、造價等最優化問題，培養實際問題數學化的意識和能力。

最值問題綜合性強，幾乎涉及高中數學各個分支，要學好各個數學分支知識，透徹地理解題意，能綜合運用各種數學技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。

（1）代數法。代數法包括判別式法（主要是應用方程的思想來解決函數最值問題）配方法（解決二次函數可轉化為求二次函數的最值問題）不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數最值問題）④換元法（利用題設條件，用換元的方法消去函數中的一部分變量，將問題化歸為一元函數的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數換元法和三角換元法）。

①判別法：判別式法是等式與不等式聯繫的重要橋樑，若能在解多元函數最值過程中巧妙地運用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應用判別式的核心在於能否合理地構造二次方程或二次函數，還需注意是否能取等號。若函數可化成一個係數含有y的關於x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時，由於x，y為實數，必須有：△=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的範圍確定函數最值。

②配方法：配方法多使用於二次函數中，通過變量代換，能變為關於t（x）的二次函數形式，函數可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據二次函數的性質確定其最值（此類題的解法關鍵在於用“配方法”將二次函數一般式化為頂點式，同時要考慮頂點的橫座標的值是否落在定義域內，若不在定義域內則需考慮函數的單調性）。

③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個必要條件，因此當其中一些條件不滿足時應考慮通過恰當的恆等變形，使這些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件。（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的'積為定值，則和有最小值。本例中計算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當然這裏還需要利用係數的湊合才能達到目的，具有一定技巧）

④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個部分看成一個式子，並用一個字母代替，於是使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時，關鍵還是要在掌握好三角函數常用關係式的基礎上，結合所求解的函數式，慎重使用）。

（2）數形結合法。數形結合法是數學中的一種重要的思想方法，即考慮函數的幾何意義，結合幾何背景，把代數問題轉化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數與形之間的對應和轉化來解題，有許多的優越性。將抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來，藉助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時函數最值也藉助數形結合方法來求解。

①解析式：解析法是觀察函數的解析式，結合函數相關的性質，求解函數最值的方法。

②函數性質法：函數性質法主要是討論利用已學函數的性質，如函數的單調性求函數最值等。

③構造複數法：構造複數法是在已經學習複數章節的基礎上，把所求結論與複數的相關知識聯繫起來，充分利用複數的性質來進行求解。

④求導法（微分法）：導數是高中現行教材新增加的內容，求導法求函數最值是應用高等數學的知識解決初等問題，可以解決一類高次函數的最值問題。找閉區間[a，b]上連續的函數f（x）的最大（或最小）值時，將不可導點、穩定點及a，b處的函數值作比較，最大（或最小）者即為最大（或最小）值。

綜上可知，函數最值問題內涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定的模式，在解題時要因題而異；而且上述方法並非彼此孤立，而是相互聯繫、相互滲透的，有時一個問題需要多法並舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法。因此，解題的關鍵在於認真分析和思考，因題而異地選擇恰當的解題方法，當一題有多種解法時，當然應該注意選擇最優解法。

以上八種方法僅作為個人的一點愚見，僅是滄海一粟，希望在應用的時候千萬不能按部就班，難免會遇到瓶頸，只有弄清其本質，在應用時才能取得事半功倍的效果。