論數學思想教育研究的重要意義

一、“數學思想”教育研究的重要意義

日本數學家米山國藏指出：多數學生進入社會後，幾乎沒有機會應用他們在學校所學到的數學知識，因而這種作為知識的數學，通常在學生出校門後不到一兩年就忘掉了，然而不管人們從事什麼業務工作，那種銘刻於大腦的數學思想卻長期在他們的生活和工作中發揮着重要作用。

為便於進行“數學思想”的教育研究，本文圍繞“數學思想”的內涵、分類、特點和功能等問題作些基礎工作。

二、數學思想的內涵和分類

數學思想是幾千年數學探索實踐所創造的精神財富。根據數學哲學的近代研究，所謂數學思想指的是數學活動中的價值觀念和行為規範。數學思想的內涵十分豐富，主要有數學創新思想、數學求真思想、數學理性思想、數學合作與獨立思考思想等。限於篇幅，本文重點僅就其中三種數學思想進行論述。

三、數學創新思想

1．創新思想的概念

結合新情況、尋找新思路、解決新問題、創立新理論，這種思想叫創新思想。

2．數學創新思想的幾個特點

首先，問題是數學創新的起點。羣論的創造是為了解決四次以上代數方程是否有根式解的問題。超限數的創立是為了進一步弄清數學分析的基礎，為了解決畫家怎樣把立體的東西畫在平面上，產生了射影幾何。……可以説：“沒有問題就沒有數學創造。”

再者，創造的自由性在近現代數學中表現得越來越明顯。德國數學家康託説：“數學的本質就在於自由。”他主張數學家自由創造自己的概念，而無需顧及是否實際存在。這個認識使康託有可能超越有限的世界，以數學家的嚴密性建立起集合論和超限數；使幾何學家超越感覺想象的空間，去研究非歐空間、n維空間；使公理數學家有可能建立抽象的純數學和種種特異的數學來。…總之，使數學家永葆創新思想，推動數學永往直前。

3．數學創新思想的教育功能

創新是科學的本質，是社會發展的不竭動力。由於數學創新的典型事例多、創新實踐對外界條件要求較少、創新成果易於展現，所以通過數學培養學生的創新思想是一條事半功倍的途徑。通過數學創新思想的培養，能夠克服學生唯書、唯師、唯上，照抄照搬的陋習，增加學生探索研究問題的主動性，提高學生思維的創新性、廣闊性、流暢性及靈活性。

四、數學求真思想

1．求真思想及其意義

求真思想是不懈追求真理的思想。真理是人們在社會實踐中形成的對主客觀事物及其規律的正確認識。人類只有掌握了真理，才會能動地改造世界。因而，求真是科學的首要目的，求真思想是科學發展的內在動力。

2．數學求真思想的特點

數學不同於其它科學，它是人類根據自己的需要而抽象建構起來的，它的真理性必須經受邏輯和實踐的雙重檢驗。

數學求真的艱難歷程，磨練了數學特有的求真思想。

首先數學求真比任何學科都重視邏輯。波利亞説：“對選擇恰當的實例進行檢驗，這是生物學家肯定猜想的唯一方法。但是對數學家來説，對選擇的實例進行驗證，從鼓勵信心的角度來看是有用的，但這樣還不能算是數學裏證明了一個猜想。”

其次，數學求真要不輕信經驗。非歐幾何的平行公理和許多定理是與我們的經驗不相符合的，但它們卻構成了一個相容的幾何系統，並在現代物理學中得到應用。“全體大於部分”在常識中是當然的事，但在無限領域中卻不成立。這是因為經驗只能反映事物的表象，不能揭示事物的實質。

再則數學求真要勇於批判。非歐幾何的誕生可以追溯到對歐氏平行公理的懷疑。勒貝格積分的建立是由於發現了黎曼積分的侷限性。希爾伯特創立形式公理化方法，是因為認識到了歐氏公理系統的`不嚴格。這説明，不同觀點的論爭同樣是數學發展的重要動力。

還有，同所有科學一樣，數學求真也離不開刻苦鑽研。瑞士數學家歐拉一生忘我工作，在雙目失明的情況下，還口述了400篇論文和好幾本書。正是這種思想才促成了他的豐功偉績。

3．數學求真思想的教育功能

數學求真思想能夠激發人們追求和堅持真理的勇氣和自信心。養成獨立地發現問題、思考問題和解決問題的習慣，不懼怕困難、不屈服挫折。教育人們客觀公正地看待一切，不輕信經驗，不迷信權威，不隨波逐流。

五、數學理性思想

1．數學理性思想的內涵

依靠思維能力對感性材料進行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理，這種認識稱為理性認識。重視理性認識活動，以尋找事物的本質、規律及內部聯繫，這種思想稱為理性思想。

2．數學理性思想的形成

雖然理性思想在不少學科都有表現，但它最早卻是由數學引入的，並逐步成為數學思想的核心和靈魂。

早在公元前6世紀，希臘數學、哲學之父泰勒斯就看到：僅僅以個別測量實例的需要為目標，埃及人中流行的測量土地的方法是笨拙的。他認為：人類不但可以從實際經驗中獲得知識，也可以從已認可的事實出發，經演繹推理得出新的知識。如果作為出發點的事實正確，推理方法正確，所得的結論也必然正確。據此，他提出測地術應上升為建立在一般原理上的演繹的幾何學。

在泰勒斯將演繹推理引入數學後，希臘畢達哥拉斯學派接着提出：數學中的數、點、線、面及各種數學概念是人思維的抽象及概括，與實際事物截然不同。雖然思考抽象事物比思考具體事物困難的多，但數學的抽象概括卻給人類帶來了最大的好處：研究對象一般性及所得結論的普適性。

演繹推理與抽象概括相結合初步形成了數學理性思想。希帕索斯發現不可通約量後，人們開始認為感性認識是不可靠的，只有理性認識才是可靠的，並且漸漸地把演繹推理作為檢驗數學真理的必經途徑之一。

3．數學理性思想的教育功能

理性思想是數學對人類文明的最大貢獻。數學理性思想的教育可以使人類看到理性的力量，增強利用思維推理獲得成功的信念。提高思維的嚴謹性、抽象性、概括性、深刻性，養成重視理論、勤于思考的習慣。其中的公理化思想還能培育法制觀念和法制社會。

六、進行“數學思想”教育研究的相關建議

筆者認為，“數學思想”教育研究可分為基礎研究和普及研究兩方面。基礎研究包括：如何從數學認識論和數學實踐中發掘“數學思想”的內涵、特點，如何從數學史、數學家傳記中發掘“數學思想”的巨大作用和典型事例等。筆者相信，只要我們將上述基礎研究和普及研究有機結合，就一定會使“數學思想”的教育取得長足的進步，也一定會使“數學思想”的教育獲得突破性飛躍。