角平分線的課件

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。

教學目標

【知識與技能】

1.會闡述角平分線的性質定理及其逆定理.

2.會應用角平分線定理及其逆定理證明兩條線段相等或兩個角相等.

【過程與方法】

1.經歷探索角平分線作法的過程,進一步體驗軸對稱的特點,發展空間觀察能力.

2.探索角平分線定理,培養學生認真探究、積極思考的能力.

【情感 、態度與價值觀】

1.體驗數學與生活的聯繫,發展學生的空間觀念和審美觀.

2.活動與探究的過程可以更大程度地激發學生學習的主動性和積極性,使學生具有一些初步研究問題的能力.

重點難點

【重點】

角平分線的性質定理及其逆定理.

【難點】

理解並證明角平分線的性質定理及其逆定理.

教學過程

一、創設情境,導入新知

師:同學們知道怎樣作出角的平分線嗎?

生1:可以通過摺紙得到一個角的平分線.

生2:也可以用量角器來畫一個角的平分線.

師:下面我們來學習用尺規作圖的方法作出∠AOB的'平分線.

作法:

1.以O為圓心、任意長為半徑圓弧分別交OA、OB於點M、N,如圖(1).

2.分別以點M、N為圓心,以大於MN長為半徑在角的內部畫弧交於點P,如圖(2).

3.作射線OP,則OP為所要求作的∠AOB的平分線.

師:通過上面的作圖,啟發我們可以用尺規完成:“經過一點作已知直線的垂線.”

教師邊操作邊講解:

用紙剪一個角,把紙片對摺,使角的兩邊疊合在一起,再把紙片展開,你看到了什麼?把對摺的紙片繼續任意折一次,然後把紙片展開,又看到了什麼?

學生操作.

師:從上面摺紙中我們發現,紙片第一次對摺後的摺痕是什麼?

生:是這個角的平分線.

師:你第二次折時出現的兩條摺痕的長度之間有什麼關係?

生:一樣長.

師:因為第二次我們是任意折的,所以這種等長的摺痕能折出無數對.

二、共同探究,獲取新知

教師多媒體出示:

操作:

(1)折出如上圖中的摺痕PD、PE;

(2)你和同桌用三角板測量一下,檢測你們所折的摺痕是否符合圖示的要求.

問題1:你能用文字語言闡述所畫圖形的性質嗎?

學生思考後回答.

問題2:根據命題“在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”用符號語言填寫下表:

圖形已知事項由已知事項推出的事項

OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分別為D、EPD=PE

(推證定理1)

問題3:根據下表中的圖形和已知事項,猜想由已知事項可推出的事項,並用符號語言填寫下表:

圖形已知事項由已知事項推出的事項

DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分別為E、C,DE=DC.∠DAE=∠DAC

問題4:用文字語言表述上表中的已知事項和由已知事項推出的事項.

(推證定理2)

三、練習新知,加深理解

師:下面我們接着來探討上面的問題3.

教師多媒體出示:

(1)∵AD平分∠BAC,

DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)

∴DC=DE.( )

(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)

∴點D在∠BAC的平分線上.( )

學生思考後搶答,教師板書.

第1個括號中填“角平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等”,第2個括號中填“到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”.

教師多媒體出示:

【例1】 已知:∠C=∠C'=90°,AC=AC'.

求證:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)

學生思考後交流討論.

教師找一名學生板演,其餘同學在下面做,然後集體訂正.

證明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)

∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定義)

又∵AC=AC',(已知)

∴點A在∠CBC'的角平分線上.(到一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上)

∴∠ABC=∠ABC'.

(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',

∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形內角和定理)

即∠BAC=∠ABC'.

∵BC⊥AC,BC'⊥AC',

∴BC=BC'.(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)

【例2】 已知:△ABC中,∠B、∠C的平分線BE、CF相交於點P.

求證:AP平分∠BAC.

證明:過點P分別作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分別為M、N、Q.

∵BE是∠B的平分線,點P在BE上,(已知)

∴PQ=PM.(角平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等)

同理PN=PM.

∴PN=PQ.(等量代換)

∴AP平分∠BAC.(到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上)

四、課堂小結

師:你今天學習了什麼知識?有什麼新的收穫?

學生回答,教師點評.

教學反思

本節課開頭設計的摺紙和畫一畫的活動,旨在豐富學生對角平分線性質的感知,有利於學生藉助直觀圖從而準確地用文字語言揭示角平分線的性質.由於部分學生常常把“過角平分線上一點向角兩邊畫垂線段”與“過角平分線上一點畫角平分線的垂線”混為一談,因此設計操作(1)、(2),為學生能正確畫出符合要求的圖形,從直觀上以及三角板的正確使用上都作了恰當的鋪墊,同時也為定理1的推理論證作準備.通過學生自己動後操作、自己推導、自己發現,從而得到角平分線的性質定理及其逆定理,充分發揮學生的探究意識,使學生在學習中體驗並掌握合作交流的學習方法,同時進一步鍛鍊學生的數學語言表達能力,能寫出規範的證明過程.