初三數學《兩角差的餘弦公式》説課稿

各位評委、各位老師：

大家上午好。

今天我們上課的內容是《兩角差的餘弦公式》。

首先，我們看兩個問題：

(1) cos( π —α ) = ?

(2) cos( 2π — α) = ?

大家根據誘導公式很快得出了答案，大家接着思考一個問題，當特殊角π和2π被一般角取代，

(3) cos( α-β ) = ?

大家猜想了多種可能，其中有同學猜想cos(α-β) = cosα-cosβ 那麼這些結論是否成立?

我們一起來用計算器驗證。

在這裏我們做了與單位圓相交的兩個角α，β，現在我們來一起模擬計算下大家猜想的幾組結論 。首先任意取一組α，β角，模擬計算出 cos(α-β ); cosα-cosβ; sin α- sinβ; co sα-sin β;由結果推翻假設(反證法)， 那麼c o s ( α-β )到底等於什麼呢? 現在我們來藉助計算機的強大計算功能 ，由c o s ( α-β )的.結果模擬可能的答案。

計算機模擬結論

cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ(黑板板書)。

變換不同的α，β角度，結論保持不變。 同學們觀察分析該結論的構成，右邊與向量夾角的座標表示一致.

聯想向量數量積(黑板板書)，用向量法證明:

(1)先假設兩向量夾角為θ，α–β在[0，π]，α–β=θ此時結論成立，(2)α–β在[π，2π]時兩向量夾角θ=2π-(α–β)

此時 cos[2π-(α–β)]=cos(α–β)

(3)α–β在全體實數範圍都可以由誘導公式轉換到[0，2π] 綜合三種情況，cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ。得證

經過大家的猜想，計算，證明，我們得出兩角差的餘弦公式，有些同學開始產生疑問，我們最開始的兩個誘導公式是否出現了錯誤，都是兩角差的餘弦，結論似乎不一致，現在我們一起來探討，揭開謎底。

用兩角差的餘弦公式證明問題(1)(2)。

帶入具體角度，用兩角差餘弦公式求cos15°= cos(45°— 30°)，同學們試着將15°分成(60°-45°)。(分成17°-2°是否可行)

練習：

證明: cos (α +β)= cos α  cos β-sin α  sin β

思考 : 能否參考兩角差的餘弦公式進行推導?

我們的新課改提倡“減負”，從數學的角度，減負就是---“加正”，

所以 α +β = α - (- β )

由此cos (α +β)

= cos [α - (- β )]

=cosα cos( -β) +sin α sin(-β)

= cosα cosβ-sin α sin β

對比:

兩角和與差的餘弦公式:

cos (α –β)= cosα cosβ + sinα sinβ

cos (α +β)= cosα cosβ - sinα sinβ

餘 餘 異號 正 正

化簡求值：

(1) cos105 °cos15 °+ sin105 °sin15 ° =cos90 °=0

(2)cos(θ+20°)cos(θ-40°)+sin(θ+20°)sin(θ-40°) = cos60 =1/2

(3)cos35 °cos10 ° - sin35 °sin10 °=cos45 °

回顧反思：

提出問題

由兩個熟悉的誘導公式入手，從特殊到一般，提出問題。

探究問題

假設猜想——反證否定——計算機模擬猜想——證明——肯定結論——靈活應用——公式對照記憶。

下節課需要解決的內容，通過已經證明的兩角和餘弦的思路，思考兩角和差的正弦。

作業佈置：

課本131頁 第一題 和 第五題。