二次函數教學設計7篇

作為一位不辭辛勞的人民教師，常常要根據教學需要編寫教學設計，教學設計是教育技術的組成部分，它的功能在於運用系統方法設計教學過程，使之成為一種具有操作性的程序。教學設計應該怎麼寫才好呢？以下是小編為大家收集的二次函數教學設計，歡迎閲讀與收藏。

二次函數教學設計1

教學目標

(一)教學知識點

1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關係的過程,體會方程與函數之間的聯繫.

2.理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係,理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函數與y=h(h是實數)交點的橫座標.

(二)能力訓練要求

1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關係的過程,培養學生的探索能力和創新精神.

2.通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數,討論一元二次方程的根的情況,進一步培養學生的數形結合思想.

3.通過學生共同觀察和討論,培養大家的合作交流意識.

(三)情感與價值觀要求

1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關係的過程,體驗數學活動充滿着探索與創造,感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性.

2.具有初步的創新精神和實踐能力.

教學重點

1.體會方程與函數之間的聯繫.

2.理解何時方程有兩個不等的實根,兩個相等的實數和沒有實根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函數與y=h(h是實數)交點的橫座標.

教學難點

1.探索方程與函數之間的聯繫的過程.

2.理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係.

教學方法

討論探索法.

教具準備

投影片二張

第一張:(記作§2.8.1A)

第二張:(記作§2.8.1B)

教學過程

Ⅰ.創設問題情境,引入新課

[師]我們學習了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函數y=kx+b(k≠0)後,討論了它們之間的關係.當一次函數中的函數值y=0時,一次函數y=kx+b就轉化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸交點的橫座標即為一元一次方程kx+b=0的解.

現在我們學習了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),它們之間是否也存在一定的關係呢?本節課我們將探索有關問題.

Ⅱ.講授新課

一、例題講解

投影片:(§2.8.1A)

我們已經知道,豎直上拋物體的高度h(m)與運動時間t(s)的關係可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是拋出時的高度,v0(m/s)是拋出時的速度.一個小球從地面被以40m/s的速度豎直向上拋起,小球的高度h(m)與運動時間t(s)的關係如下圖所示,那麼

(1)h與t的關係式是什麼?

(2)小球經過多少秒後落地?你有幾種求解方法?與同伴進行交流.

[師]請大家先發表自己的看法,然後再解答.

[生](1)h與t的關係式為h=-5t2+v0t+h0,其中的v0為40m/s,小球從地面被拋起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h與t的關係式.

(2)小球落地時h為0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h為0,求出t即可.

還可以觀察圖象得到.

[師]很好.能寫出步驟嗎?

[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0,

當v0=40,h0=0時,

h=-5t2+40t.

(2)從圖象上看可知t=8時,小球落地或者令h=0,得:

-5t2+40t=0,

即t2-8t=0.

∴t(t-8)=0.

∴t=0或t=8.

t=0時是小球沒拋時的時間,t=8是小球落地時的時間.

二、議一議

投影片:(§2.8.1B)

二次函數①y=x2+2x,

②y=x2-2x+1,

③y=x2-2x+2的圖象如下圖所示.

(1)每個圖象與x軸有幾個交點?

(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個根?解方程驗證一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?

(3)二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的座標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什麼關係?

[師]還請大家先討論後解答.

[生](1)二次函數y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象與x軸分別有兩個交點,一個交點,沒有交點.

(2)一元二次方程x2+2x=0有兩個根0,-2;方程x2-2x+1=0有兩個相等的根1或一個根1;方程x2-2x+2=0沒有實數根.

(3)從觀察圖象和討論中可知,二次函數y=x2+2x的圖象與x軸有兩個交點,交點的座標分別為(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有兩個根0,-2;

二次函數y=x2-2x+1的圖象與x軸有一個交點,交點座標為(1,0),方程x2-2x+1=0有兩個相等的實數根(或一個根)1;二次函數y=x2-2x+2的圖象與x軸沒有交點,方程x2-2x+2=0沒有實數根.

由此可知,二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的橫座標即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

[師]大家總結得非常棒.

二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點有三種情況:有兩個交點、有一個交點、沒有交點.當二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點時,交點的橫座標就是當y=0時自變量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

三、想一想

在本節一開始的小球上拋問題中,何時小球離地面的高度是60m?你是如何知道的?

[師]請大家討論解決.

[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,當h0=0,v0=40m/s,h=60m時,有

-5t2+40t=60,

t2-8t+12=0,

∴t=2或t=6.

因此當小球離開地面2秒和6秒時,高度都是60m.

Ⅲ.課堂練習

隨堂練習(P67)

Ⅳ.課時小結

本節課學瞭如下內容:

1.經歷了探索二次函數與一元二次方程的關係的過程,體會了方程與函數之間的聯繫.

2.理解了二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係,理解了何時方程有兩個不等的實根.兩個相等的實根和沒有實根.

Ⅴ.課後作業

習題2.9

板書設計

§2.8.1 二次函數與一元二次方程(一)

一、1.例題講解(投影片§2.8.1A)

2.議一議(投影片§2.8.1B)

3.想一想

二、課堂練習

隨堂練習

三、課時小結

四、課後作業

備課資料

思考、探索、交流

把4根長度均為100m的鐵絲分別圍成正方形、長方形、正三角形和圓,哪個的面積最大?為什麼?

解:(1)設長方形的一邊長為x m,另一邊長為(50-x)m,則

S長方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.

即當x=25時,S最大=625.

(2)S正方形=252=625.

(3)∵正三角形的邊長為 m,高為 m,

∴S三角形= =≈481(m2).

(4)∵2πr=100,∴r= .

∴S圓=πr2=π·( )2=π· = ≈796(m2).

所以圓的面積最大.

二次函數教學設計2

一、教學目標：

1。經歷探索二次函數與一元二次方程的關係的過程，體會方程與函數之間的聯繫。

2。理解拋物線交x軸的點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根。

3。能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根。

二、教學重點、難點：

教學重點：

1。體會方程與函數之間的聯繫。

2。能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根。

教學難點：

1。探索方程與函數之間關係的過程。

2。理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係。

三、教學方法：啟發引導 合作交流

四：教具、學具：課件

五、教學媒體：計算機、實物投影。

六、教學過程：

[活動1] 檢查預習 引出課題

預習作業：

1。解方程：（1）x2+x—2=0; （2） x2—6x+9=0; （3） x2—x+1=0; （4） x2—2x—2=0。

2。 回顧一次函數與一元一次方程的關係，利用函數的圖象求方程3x—4=0的解。

師生行為：教師展示預習作業的內容， 指名回答，師生共同回顧舊知，教師做出適當總結和評價。

教師重點關注：學生回答問題結論準確性，能否把前後知識聯繫起來，2題的格式要規範。

設計意圖：這兩道預習題目是對舊知識的回顧，為本課的教學起到鋪墊的作用，1題中的三個方程是課本中觀察欄目中的三個函數式的變式，這三個方程把二次方程的根的三種情況體現出來，讓學生回顧二次方程的相關知識;2題是一次函數與一元一次方程的關係的問題，這題的設計是讓學生用學過的熟悉的知識類比探究本課新知識。

[活動2] 創設情境 探究新知

問題

1。課本P16 問題。

2。結合圖形指出，為什麼有兩個時間球的高度是15m或0m？為什麼只在一個時間球的高度是20m？

（結合預習題1，完成課本P16 觀察中的題目。）

師生行為：教師提出問題1，給學生獨立思考的時間，教師可適當引導，對學生的解題思路和格式進行梳理和規範;問題2學生獨立思考指名回答，注重數形結合思想的滲透;問題3是由學生分組探究的，這個問題的探究稍有難度，活動中教師要深入到各個小組中進行點撥，引導學生總結歸納出正確結論。

二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的座標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什麼關係？

二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點

一元二次方程ax2+bx+c=0的根

一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式=b2—4ac

兩個交點

兩個相異的實數根

b2—4ac 0

一個交點

兩個相等的實數根

b2—4ac = 0

沒有交點

沒有實數根

b2—4ac 0

教師重點關注：

1。學生能否把實際問題準確地轉化為數學問題;

2。學生在思考問題時能否注重數形結合思想的應用;

3。學生在探究問題的過程中，能否經歷獨立思考、認真傾聽、獲得信息、梳理歸納的過程，使解決問題的方法更準確。

設計意圖：由現實中的實際問題入手給學生創設熟悉的問題情境，促使學生能積極地參與到數學活動中去，體會二次函數與實際問題的關係;學生通過小組合作分析、交流，探求二次函數與一元二次方程的關係，培養學生的合作精神，積累學習經驗。

[活動3] 例題學習 鞏固提高

問題： 例 利用函數圖象求方程x2—2x—2=0的實數根（精確到0。1）。

師生行為：教師提出問題，引導學生根據預習題2獨立完成，師生互相訂正。

教師關注：（1）學生在解題過程中格式是否規範;（2）學生所畫圖象是否準確，估算方法是否得當。

設計意圖：通過預習題2的鋪墊，同學們已經從舊知識中尋找到新知識的生長點，很容易明確例題的解題思路和方法，這樣既降低難點且突出重點。

[活動4] 練習反饋 鞏固新知

問題：（1） P97。習題 1、2（1）。

師生行為：教師提出問題，學生獨立思考後寫出答案，師生共同評價;問題（2）學生獨立思考後同桌交流，實物投影出學生解題過程，教師強調正確解題思路。

教師關注：學生能否準確應用本節課的知識解決問題;學生解題時候暴露的共性問題作針對性的點評，積累解題經驗。

設計意圖：這兩個題目就是對本節課知識的鞏固應用，讓新知識內化昇華，培養數學思維的嚴謹性。

[活動5] 自主小結，深化提高：

1。通過這節課的學習，你獲得了哪些數學知識和方法？

2。這節課你參與了哪些數學活動？談談你獲得知識的方法和經驗。

師生活動：學生思考後回答，教師對學生的錯誤予以糾正，不足的予以補充，精彩的適當表揚。

設計意圖：

1。題促使學生反思在知識和技能方面的收穫;

2。題讓學生反思自己的學習活動、認知過程，總結解決問題的策略，積累學習知識的方法，力求不同的學生有不同的發展。

[活動6] 分層作業，發展個性：

1。（必做題）閲讀教材並完成P97 習題21。2： 3、4。

2。（備選題）P97 習題21。2：5、6

設計意圖：分層作業，使不同層次的學生都能有所收穫。

七、教學反思：

1。注重知識的發生過程與思想方法的應用

《用函數的觀點看一元二次方程》內容比較多，而課時安排只一節，為了在一節課的時間裏更有效地突出重點，突破難點，按照學生的認知規律遵循教師為主導、學生為主體的指導思想，本節課給學生布置的預習作業，從學生已有的經驗出發引發學生觀察、分析、類比、聯想、歸納、總結獲得新的知識，讓學生充分感受知識的產生和發展過程，使學生始終處於積極的思維狀態中，對新的知識的獲得覺得不意外，讓學生跳一跳就可以摘到桃子。

探究拋物線交x軸的點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係及其應用的過程中，引導學生觀察圖形， 從圖象與x軸交點的個數與方程的根之間進行分析、猜想、歸納、總結，這是重要的數學中數形結合的思想方法，在整個教學過程中始終貫穿的是類比思想方法。這些方法的使用對學生良好思維品質的形成有重要的作用，對學生的終身發展也有一定的作用。

2。關注學生學習的過程

在教學過程中，教師作為引導者，為學生創設問題情境、提供問題串、給學生提供廣闊的思考空間、活動空間、為學生搭建自主學習的平台;學生則在老師的指導下經歷操作、實踐、思考、交流、合作的過程，其知識的形成和能力的培養相伴而行，創造海闊憑魚躍，天高任鳥飛的課堂境界。

3。強化行為反思

反思是數學的重要活動，是數學活動的核心和動力，本節課在教學過程中始終融入反思的環節，用問題的設計，課堂小結，課後的數學日記等方式引發學生反思，使學生在掌握知識的同時，領悟解決問題的策略，積累學習方法。説到數學日記，數學日記就是學生以日記的形式，記述學生在數學學習和應用過程中的感受與體會。通過日記的方式，學生可以對他所學的數學內容進行總結，寫出自己的收穫與困惑。數學日記該如何寫，寫什麼呢？開始摸索寫數學日記的時候，我根據課程標準的內容給學生提出寫數學日記的簡單模式：日記參考格式：課題;所涉及的重要數學概念或規律;理解得最好的地方;不明白的或還需要進一步理解的地方;所涉及的數學思想方法;所學內容能否應用在日常生活中，舉例説明。通過這兩年的摸索，我把數學日記大致分為：課堂日記、複習日記、錯題日記。

4。優化作業設計

作業的設計分必做題和選做題，必做題鞏固本課基礎知識，基本要求;選做題屬於拓廣探索題目，培養學生的創新能力和實踐能力。

二次函數教學設計3

教材分析

本節課主要內容包括：運用二次函數的最大值解決最大面積的問題，讓學生體會拋物線的頂點就是二次函數圖象的最高點（最低點），因此，可利用頂點座標求實際問題中的最大值（或最小值）.在最大利潤這個問題中，應用頂點座標求最大利潤，是較難的實際問題。

本節課的設計是從生活實例入手，讓學生體會在解決問題的過程中獲取知識的快樂，使學生成為課堂的主人。

按照新課程理念，結合本節課的具體內容，本節課的教學目標確定為相互關聯的三個層次：

1、知識與技能

通過實際問題與二次函數關係的探究，讓學生掌握利用頂點座標解決最大值（或最小值）問題的方法。

2、過程與方法

通過對實際問題的研究，體會數學知識的現實意義。進一步認識如何利用二次函數的有關知識解決實際問題。滲透轉化及分類的數學思想方法。

3、情感態度價值觀

（1）通過巧妙的教學設計，激發學生的學習興趣，讓學生感受數學的美感。

（2）在知識教學中體會數學知識的應用價值。

本節課的教學重點是 “探究利用二次函數的最大值（或最小值）解決實際問題的方法”，教學難點是“如何將實際問題轉化為二次函數的問題”。

實驗研究：

作為一線教師，應該靈活地處理和使用教材。充分發揮教師自己的智慧，把學生置於教學的出發點和核心地位，應學生而動，應情境而變，課堂才能煥發勃勃生機，課堂上才能顯現真正的活力。因此我對教材進行了重新開發，從學生熟悉的生活情境出發，與學生生活背景有密切相關的學習素材來構建學生學習的內容體系。把握好以下兩方面內容：

（一）、利用二次函數解決實際問題的易錯點：

①題意不清，信息處理不當。

②選用哪種函數模型解題，判斷不清。

③忽視取值範圍的確定，忽視圖象的正確畫法。

④將實際問題轉化為數學問題，對學生要求較高，一般學生不易達到。

（二）、解決問題的突破點：

①反覆讀題，理解清楚題意，對模糊的信息要反覆比較。

②加強對實際問題的分析，加強對幾何關係的探求，提高自己的分析能力。

③注意實際問題對自變量 取值範圍的影響，進而對函數圖象的影響。

④注意檢驗，養成良好的解題習慣。

因此我由課本的一個問題轉化為兩個實際問題入手通過創設情境，層層設問，啟發學生自主學習。

教學目標

1.知識與能力：初步掌握解決二次函數在閉區間上最值問題的一般解法，總結歸納出二次函數在閉區間上最值的一般規律，學會運用二次函數在閉區間上的圖像研究和理解相關問題。

2.過程與方法：通過實驗，觀察影響二次函數在閉區間上的最值的因素，在此基礎上討論探究出解決二次函數在閉區間上最值問題的一般解法和規律。

3.情感、態度與價值觀：通過探究，讓學生體會分類討論思想與數形結合思想在解決數學問題中的重要作用,培養學生分析問題、解決問題的能力，同時培養學生合作與交流的能力。

教學重點與難點

教學重點：尋求二次函數在閉區間上最值問題的一般解法和規律。

教學難點：含參二次函數在閉區間上的最值的求法以及分類討論思想的正確運用。

學生學情分析

我所代班級的學生是高一新生， 他們在初中已學過二次函數的簡單性質與圖像，知道二次函數在 二次函數最值教學設計時在頂點處取得最大值或最小值，在前幾節課又學習了函數的概念與表示、單調性與最值的相關知識，已經具備了本節課學習必須的基礎知識。

教法分析

根據教學實際,我將本節課設計為數學探究課，在探究的過程中，藉助於多媒體教學手段,讓學生觀察幾何畫板中的動態演示，通過對二次函數圖像的“再認識”，探究二次函數在閉區間上的最值。同時為了配合多媒體的教學，準備了學案讓學生配套使用。先讓學生提前預習相關內容，對所要探究的問題有初步的瞭解，再在課堂上詳細的探究，課後在學案上有相應的課後作業題讓學生鞏固所學知識。

教學過程

（一）複習舊知

回憶二次函數的圖像與性質：

1. 圖像:

2. 定義域:

3. 單調性:

4. 最值:

【設計意圖】複習舊知，引入新課。

（二）自主探究

探究1：定軸定區間最值問題

分別在下列範圍內求函數f(x)=x2-2x-3的最值：

二次函數最值教學設計 二次函數最值教學設計

二次函數最值教學設計

規律總結：作出二次函數的圖像，通過圖像確定函數在給定區間上的最值。

【設計意圖】

通過探究

1，讓學生討論探究定函數在定區間上最值的求解方法，並通過二次函數在閉區間上圖像直觀形象地觀察、分析問題和解決問題。

（三）合作探究（含參二次函數最值求解問題 ）

探究2：動軸定區間最值問題

求函數f(x)=x2-2tx-3, t∈R在x∈[-2,2]上的最小值。

【設計意圖】

通過探究2，讓學生討論探究動軸定區間上最小值的求解方法，並通過動態演示二次函數在閉區間上的圖像，讓學生直觀形象地觀察、分析問題和解決問題。

變式訓練：求函數f(x)=x2-2tx-3在x∈[-2,2] ,t∈R上的最大值。

【設計意圖】

通過變式訓練，讓學生進一步體會動軸定區間上最大值的求解方法，同時歸納出動軸定區間最值問題求解的一般規律。

規律總結：移動對稱軸，比較對稱軸和區間的位置關係，再結合圖像進行進行分類討論，

注意做到“不重不漏”。

探究3：定軸動區間最值問題

求函數f(x)=x2-2x-3在x∈[t,t+2],t∈R的最小值。

【設計意圖】讓學生分組討論探究3的求解方法，使學生體會運動的相對性，從而類比探究2的過程與方法可以制定出解決問題3的方法。

變式訓練：求函數f(x)=-x2+2x-3在x∈[t,t+2], t∈R的最大值.

【設計意圖】

通過變式訓練，讓學生進一步體會定軸動區間上最大值的求解方法，同時歸納出定軸動區間最值問題求解的一般規律。

規律總結：移動區間，比較對稱軸和區間的位置關係，再結合圖像進行分類討論，注意做到“不重不漏”。

（四）知識小結

本節課研究了二次函數的三類最值問題:

(1) 定軸定區間最值問題； (2) 動軸定區間最值問題； (3) 定軸動區間最值問題.

核心思想是判斷對稱軸與區間的相對位置， 應用數形結合、分類討論思想求出最值。

【設計意圖】

歸納總結二次函數問題在閉區間上最值的一般解法和規律，完成本節課知識的建構。

（五）結束語

數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，割裂分家萬事休！

(六)課後作業

1.二次函數最值教學設計1.分別在下列範圍內求二次函數f(x)=x2+4x-6的最值。

2. 求函數f(x)=x2+2tx+2,t∈R在x∈[-5,5]上的最值。

3. 求函數f(x)=x2-2x+2在x∈[t,t+1], t∈R的最小值。

【設計意圖】

學生應用探究所得知識解決相關問題，進一步鞏固和提高二次函數在閉區間上最值的求解方法與規律。

二次函數教學設計4

一、説課內容：

九年級數學下冊第27章第一節的二次函數的概念及相關習題 (華東師範大學出版社)

二、教材分析：

1、教材的地位和作用

這節課是在學生已經學習了一次函數、正比例函數、反比例函數的基礎上，來學習二次函數的概念。二次函數是初中階段研究的最後一個具體的函數，也是最重要的，在歷年來的中考題中佔有較大比例。同時，二次函數和以前學過的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的聯繫。進一步學習二次函數將為它們的解法提供新的方法和途徑，並使學生更為深刻的理解數形結合的重要思想。而本節課的二次函數的概念是學習二次函數的基礎，是為後來學習二次函數的圖象做鋪墊。所以這節課在整個教材中具有承上啟下的重要作用。

2、教學目標和要求：

(1)知識與技能：使學生理解二次函數的概念，掌握根據實際問題列出二次函數關係式的方法，並瞭解如何根據實際問題確定自變量的取值範圍。

(2)過程與方法：複習舊知，通過實際問題的引入，經歷二次函數概念的探索過程，提高學生解決問題的能力.

(3)情感、態度與價值觀：通過觀察、操作、交流歸納等數學活動加深對二次函數概念的理解，發展學生的數學思維，增強學好數學的願望與信心.

3、教學重點：對二次函數概念的理解。

4、教學難點：抽象出實際問題中的二次函數關係。

三、教法學法設計：

1、從創設情境入手，通過知識再現，孕伏教學過程

2、從學生活動出發，通過以舊引新，順勢教學過程

3、利用探索、研究手段，通過思維深入，領悟教學過程

四、教學過程：

(一)複習提問

1.什麼叫函數?我們之前學過了那些函數?

(一次函數，正比例函數，反比例函數)

2.它們的形式是怎樣的?

(y=kx+b，ky=kx ,ky= , k0)

3.一次函數(y=kx+b)的自變量是什麼?函數是什麼?常量是什麼?為什麼要有k0的條件? k值對函數性質有什麼影響?

【設計意圖】複習這些問題是為了幫助學生弄清自變量、函數、常量等概念，加深對函數定義的理解.強調k0的條件，以備與二次函數中的a進行比較.

(二)引入新課

函數是研究兩個變量在某變化過程中的相互關係，我們已學過正比例函數，反比例函數和一次函數。看下面三個例子中兩個變量之間存在怎樣的關係。

例1、(1)圓的半徑是r(cm)時，面積s (cm2)與半徑之間的關係是什麼?

解：s=0)

例2、用周長為20m的籬笆圍成矩形場地，場地面積y(m2)與矩形一邊長x(m)之間的關係是什麼?

解： y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x2+10x (0

例3、設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x，一年到期後，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉存。如果存款額是100元，那麼請問兩年後的本息和y(元)與x之間的關係是什麼(不考慮利息税)?

解： y=100(1+x)2

=100(x2+2x+1)

= 100x2+200x+100(0

教師提問：以上三個例子所列出的函數與一次函數有何相同點與不同點?

(三)講解新課

以上函數不同於我們所學過的一次函數，正比例函數，反比例函數，我們就把這種函數稱為二次函數。

二次函數的定義：形如y=ax2+bx+c (a0，a, b, c為常數) 的函數叫做二次函數。

鞏固對二次函數概念的理解：

1、強調形如，即由形來定義函數名稱。二次函數即y 是關於x的二次多項式(關於的x代數式一定要是整式)。

2、在 y=ax2+bx+c 中自變量是x ，它的取值範圍是一切實數。但在實際問題中，自變量的取值範圍是使實際問題有意義的值。(如例1中要求r0)

3、為什麼二次函數定義中要求a?

(若a=0，ax2+bx+c就不是關於x的二次多項式了)

4、在例3中，二次函數y=100x2+200x+100中， a=100， b=200， c=100.

5、b和c是否可以為零?

由例1可知，b和c均可為零.

若b=0，則y=ax2+c;

若c=0，則y=ax2+bx;

若b=c=0，則y=ax2.

註明：以上三種形式都是二次函數的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函數的一般形式.

判斷：下列函數中哪些是二次函數?哪些不是二次函數?若是二次函數，指出a、b、c.

(1)y=3(x-1)2+1 (2) s=3-2t2

(3)y=(x+3)2- x2 (4) s=10r2

(5) y=22+2x (6)y=x4+2x2+1(可指出y是關於x2的二次函數)

(四)鞏固練習

1.已知一個直角三角形的兩條直角邊長的和是10cm。

(1)當它的一條直角邊的長為4.5cm時，求這個直角三角形的面積;

(2)設這個直角三角形的面積為Scm2,其中一條直角邊為xcm，求S關

於x的函數關係式。

【設計意圖】此題由具體數據逐步過渡到用字母表示關係式，讓學生經歷由具體到抽象的過程，從而降低學生學習的難度。

2.已知正方體的稜長為xcm,它的表面積為Scm2,體積為Vcm3。

(1)分別寫出S與x，V與x之間的函數關係式子;

(2)這兩個函數中，那個是x的二次函數?

【設計意圖】簡單的實際問題，學生會很容易列出函數關係式，也很容易分辨出哪個是二次函數。通過簡單題目的練習，讓學生體驗到成功的歡愉，激發他們學習數學的興趣，建立學好數學的信心。

五、評價分析

本節的一個知識點就是二次函數的概念，教學中教師不能直接給出，而要讓學生自己在分析、揭示實際問題的數量關係並把實際問題轉化為數學模型的過程中，使學生感受函數是刻畫現實世界數量關係的有效模型，增加對二次函數的感性認識，側重點通過兩個實際問題的探究引導學生自己歸納出這種新的函數二次函數，進一步感受數學在生活中的廣泛應用。對於最大面積問題，可給學生留為課下探究問題，發展學生的發散思維，方法不拘一格，只要合理均應鼓勵。

二次函數教學設計5

教學內容：

人教版九年義務教育初中第三冊第108頁

教學目標：

1. 1.理解二次函數的意義；會用描點法畫出函數y=ax2的圖象，知道拋物線的有關概念；

2. 2.通過變式教學，培養學生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性；

3. 3.通過二次函數的教學讓學生進一步體會研究函數的一般方法；加深對於數形結合思想認識。

教學重點：二次函數的意義；會畫二次函數圖象。

教學難點：描點法畫二次函數y=ax2的圖象，數與形相互聯繫。

教學過程設計：

一.創設情景、建模引入

我們已學習了正比例函數及一次函數，現在來看看下面幾個例子：

1.寫出圓的半徑是R（CM），它的面積S（CM2）與R的關係式

答：S=πR2. ①

2.寫出用總長為60M的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S（M2）與矩形一邊長L（M）之間的關係

答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

分析：①②兩個關係式中S與R、L之間是否存在函數關係？

S是否是R、L的一次函數？

由於①②兩個關係式中S不是R、L的一次函數，那麼S是R、L的什麼函數呢？這樣的函數大家能不能猜想一下它叫什麼函數呢？

答：二次函數。

這一節課我們將研究二次函數的有關知識。（板書課題）

二.歸納抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)，

那麼，y叫做x的二次函數.

注意：(1)必須a≠0,否則就不是二次函數了.而b,c兩數可以是零.(2)由於二次函數的解析式是整式的形式，所以x的取值範圍是任意實數.

練習：1.舉例子：請同學舉一些二次函數的例子，全班同學判斷是否正確。

2.出難題：請同學給大家出示一個函數，請同學判斷是否是二次函數。

（若學生考慮不全，教師給予補充。如：；；；的形式。）

（通過學生觀察、歸納定義加深對概念的理解，既培養了學生的實踐能力，有培養了學生的探究精神。並通過開放性的練習培養學生思維的發散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語，也增添了課堂的趣味性。）

由前面一次函數的學習，我們已經知道研究函數一般應按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。二次函數我們也會按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。

（在這裏指出學習函數的一般方法，旨在及時進行學法指導；並將此方法形成技能，以指導今後的學習；進一步培養終身學習的能力。）

三.嘗試模仿、鞏固提高

讓我們先從最簡單的二次函數y=ax2入手展開研究

1. 1.嘗試：大家知道一次函數的圖象是一條直線，那麼二次函數的圖象是什麼呢？

請同學們畫出函數y=x2的圖象。

（學生分別畫圖，教師巡視瞭解情況。）

2. 2.模仿鞏固：教師將瞭解到的各種不同圖象用實物投影向大家展示，到底哪一個對呢？下面師生共同畫出函數y=x2的圖象。

解：一、列表：

x

-3

-2

-1

1

2

3

Y=x2

9

4

1

1

4

9

二、描點、連線：按照表格，描出各點.然後用光滑的曲線，按照x(點的.橫座標)由小到大的順序把各點連結起來.

對照教師畫的圖象一一分析學生所畫圖象的正誤及原因，從而得到畫二次函數圖象的幾點注意。

練習：畫出函數;的圖象（請兩個同學板演）

X

-3

-2

-1

1

2

3

Y=0.5X2

4.5

2

0.5

0.5

02

4.5

Y=-X2

-9

-4

-1

-1

-4

-9

畫好之後教師根據情況講評，並引導學生觀察圖象形狀得出：二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線。

（這裏，教師在學生自己探索嘗試的基礎上，示範畫圖象的方法和過程，希望學生學會畫圖象的方法；並及時安排練習鞏固剛剛學到的新知識，通過觀察，感悟拋物線名稱的由來。）

三.運用新知、變式探究

畫出函數y=5x2圖象

學生在畫圖象的過程中遇到函數值較大的困難，不知如何是好。

x

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y=5x2

1.25

0.8

0.45

0.2

0.05

0.05

0.2

0.45

0.8

1.25

教師出示已畫好的圖象讓學生觀察

注意：1.畫圖象應描7個左右的點，描的點越多圖象越準確。

2.自變量X的取值應注意關於Y軸對稱。

3.對於不同的二次函數自變量X的取值應更加靈活，例如可以取分數。

四.歸納小結、延續探究

教師引導學生觀察表格及圖象，歸納y=ax2的性質，學生們暢所欲言，各抒己見；互相改進，互相完善。最終得到如下性質：

一般的，二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線，對稱軸是Y軸，頂點是座標原點；當a＞0時，圖象的開口向上，最低點為(0，0)；當a＜0時，圖象的開口向下，最高點為(0，0)。

五.回顧反思、總結收穫

在這一環節中，教師請同學們回顧一節課的學習暢談自己的收穫或多、或少、或幾點、或全面，總之是人人有所得，個個有提高。這也正是新課標中所倡導的新的理念——不同的人在數學上得到不同的發展。

（在整個一節課上，基本上是學生講為主，教師講為輔。一些較為困難的問題，我也鼓勵學生大膽思考，積極嘗試，不怕困難，一個人完不成，講不透，第二個人、第三個人補充，直到完成整個例題。這樣上課氣氛非常活躍，學生之間常會因為某個觀點的不同而爭論，這就給教師提出了更高的要求，一方面要控制好整節課的節奏，另一方面又要察言觀色，適時地對某些觀點作出判斷，或與學生一同討論。）

二次函數教學設計6

教學目標

一、 教學知識點

1、 經歷探索二次函數與一元二次方程的關係的過程，體會方程與函數之間的聯繫.

2、 理解二次函數與 x 軸交點的個數與一元二次方程的根的關係，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根.

3、 理解一元二次方程的根就是二次函數與y =h 交點的橫座標.

二、 能力訓練要求

1、經歷探索二次函數與一元二次方程的關係的過程，培養學生的探 索能力和創新精神

2、通過觀察二次函數與x 軸交 點的個數，討論 一元二次方程的根的情況，進一步培養學生的數形結合思想.

3、通過學生共同觀察和討論，培養合作交流意識.

三、 情感與價值觀要求

1、 經歷探索二次函數與一元二次方程的關係的過程，體驗數學活動充滿着探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性.

2、 具有初步的創新精神和實踐能力.

教學重點

1.體會方程與函數之間的聯繫.

2.理解何 時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函數與y =h 交點的橫座標.

教學難點

1、探索方程與函數之間的聯繫的過程.

2、理解二次函數與x 軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係.

教學方法

討論探索法

教學過程：

1、 設問題情境，引入新課

我們已學過一元一次方程kx+b=0 (k0)和一次函數y =kx+b (k0)的關係，你還記得嗎?

它們之間的關係是：當一次函數中的函數值y =0時，一次函數y =kx+b就轉化成了一元一次方 程kx+b=0，且一次函數的圖像與x 軸交點的橫座標即為一元一次方程kx+b=0的解.

現在我們學習了一元二次方程和二次函數，它們之間是否也存在一定的關係呢?本節課我們將探索有關問題.

2、 新課講解

例題講解

我們已經知道，豎直上拋物體的高度h (m )與運動時間t (s )的關係可以用公式 h =-5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是拋出時的高度，v 0(m/s )是拋出時的速度.一個小球從地面被以40m/s 速度豎直向上拋起，小球的高度h(m)與運動時間t(s)的關係如下圖所示，那麼

(1)h 與t 的關係式是什麼?

(2)小球經過多少秒後落地?你有幾種求解方法?

小組交流，然後發表自己的看法.

學生交流：(1)h 與t 的關係式是h =-5 t 2+v 0t +h 0，其中的v 0

為40m/s，小球從地面拋起，所以h 0=0.把v 0,h 0帶入上式即可

求出h 與t 的關係式h =-5t 2+40t

(2)小球落地時h為0 ，所以只要令 h =-5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可.也就是

-5t 2+40t=0

t 2-8t=0

t(t- 8)=0

t=0或t=8

t=0時是小球沒拋時的時間，t=8是小球落地時的時間.

也可以觀察圖像，從圖像上可看到t =8時小球落地.

議一議

二次函數①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的圖像如下圖所示

(1)每個圖像與x 軸有幾個交點?

(2)一元二次方程x2+2x=0 , x2-2x+1=0有幾個根?解方程驗證一下, 一元二次方程x2-2x +2=0有根嗎?

(3)二次函數的圖像y=ax2+bx+c 與x 軸交點的座標與一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什麼關係?

學生討論後，解答如 下：

(1)二次函數①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的圖像與x 軸分別有兩個交點、一個交點，沒有交點.

(2)一元二次方程x 2+2x=0有兩個根0，-2 ;x2-2x+1=0有兩個相等的實數根1或一個根1 ;方程x2-2x +2=0沒有實數根

(3)從圖像和討論知，二次函數y=x2+2x與x 軸有兩個交點(0,0),(-2,0) ，方程x2+2x=0有兩個根0，-2;

二次函數y=x2-2x+1的圖像與x 軸有一個交點(1,0),方程 x2-2x+1=0 有兩個相等的實數根1或一個根1

二次函數y=x2-2x +2 的圖像與x 軸沒有交點, 方程x2-2x +2=0沒有實數根

由此可知 ，二次函數y=ax2+bx+c 的圖像與x 軸交點的橫座標即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

小結：

二次函數y=ax2+bx+c 的圖像與x 軸交點有三種情況：有兩個交點、一個交點、沒有焦點.當二次函數y=ax2+bx+c 的圖像與x 軸有交點時 ，交點的橫座標就是當y =0時自變量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

基礎練習

1、判斷下列各拋物線是否與x軸相交，如果相交，求出交點的座標.

(1)y=6x2-2x+1 (2)y=-15x2+14x+8 (3)y=x2-4x+4

2、已知拋物線y=x2-6x+a的頂點在x軸上，則a= ;若拋物線與x軸有兩個交點，則a的範圍是

3、已知拋物線y=x2-3x+a+1與x軸最多隻有一個交點，則a的範圍是 .

4、已知拋物線y=x2+px+q與x 軸的兩個交點為(-2，0)，(3，0)，則p= ，q= .

5. 已知拋物線 y=-2(x+1)2+8 ①求拋物線與y軸的交點座標;②求拋物線與x軸的兩個交點間的距離.

6、拋物線y=a x2+bx+c(a0)的圖象全部在軸下方的條件是( )

(A) a0 b2-4ac0(B)a0 b2-4ac0

(B) (C)a0 b2- 4ac0 (D)a0 b2-4ac0

想一想

在本節一開始的小球上拋問題中，何時小球離地面的高度是60 m?你是怎樣知道的?

學生交流：在式子h =-5t 2+v 0t +h 0中v 0為40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得

-5t 2+40t=60

t 28t+12=0

t=2或t=6

因此當小球離開地面2秒和6秒時，高度是6 0 m.

課堂練習 72頁

小結 ：本節課學習瞭如下內容：

1、若一元二 次方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1、x2， 則拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點座標分別是A(x1，0 )， B( x2，0 )

2、一元二次方程ax2+bx+c=0與二次三項式ax2+bx+c及二次函數y=ax2+bx+c這三個二次之間互相轉化的關係.體現了數形結合的思想3、二次函數y=ax2+bx+c何時為一元二次方程?

二次函數教學設計7

教學目標：

（1）能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關係式，並求出函數的自變量的取值範圍。

（2）注重學生參與，聯繫實際，豐富學生的感性認識，培養學生的良好的學習習慣

重點難點：

能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關係式，並求出函數的自變量的取值範圍。

教學過程：

一、試一試

1.設矩形花圃的垂直於牆的一邊AB的長為xm，先取x的一些值，算出矩形的另一邊BC的長，進而得出矩形的面積ym2．試將計算結果填寫在下表的空格中，

2．x的值是否可以任意取?有限定範圍嗎?

3．我們發現，當AB的長(x)確定後，矩形的面積(y)也隨之確定，

y是x的函數，試寫出這個函數的關係式，

對於1.，可讓學生根據表中給出的AB的長，填出相應的BC的長和麪積，然後引導學生觀察表格中數據的變化情況，提出問題：(1)從所填表格中，你能發現什麼？(2)對前面提出的問題的解答能作出什麼猜想?讓學生思考、交流、發表意見，達成共識：當AB的長為5cm，BC的長為10m時，圍成的矩形面積最大；最大面積為50m2。 對於2，可讓學生分組討論、交流，然後各組派代表發表意見。形成共識，x的值不可以任意取，有限定範圍，其範圍是0 ＜x ＜10。 對於3，教師可提出問題，(1)當AB=xm時，BC長等於多少m?(2)面積y等於多少?並指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函數關係式．

二、提出問題

某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件．該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場調查，發現這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大? 在這個問題中，可提出如下問題供學生思考並回答：

1．商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什麼關係?

[利潤=(售價－進價)×銷售量]

2．如果不降低售價，該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元?

[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降價x元，則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，請求出它的範圍，

[x的值不能任意取，其範圍是0≤x≤2]

5．若設該商品每天的利潤為y元，求y與x的函數關係式。

[y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)]

將函數關係式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化為：

y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1) 將函數關係式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化為： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)……………………(2)

三、觀察；概括

1.教師引導學生觀察函數關係式(1)和(2)，提出以下問題讓學生思考回答；

(1)函數關係式(1)和(2)的自變量各有幾個?

(各有1個)

(2)多項式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分別是幾次多項式? (分別是二次多項式)

(3)函數關係式(1)和(2)有什麼共同特點?

(都是用自變量的二次多項式來表示的)

(4)本章導圖中的問題以及P1頁的問題2有什麼共同特點？ 讓學生討論、交流，發表意見，歸結為：自變量x為何值時，函

數y取得最大值。

2．二次函數定義：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常數，a≠0)的函數叫做x的二次函數，a叫做二次函數的係數，b叫做一次項的係數，c叫作常數項．

四、課堂練習

1.(口答)下列函數中，哪些是二次函數?

(1)y=5x＋1 (2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x＋1

2．P3練習第1，2題。

五、小結

1．請敍述二次函數的定義．

2，許多實際問題可以轉化為二次函數來解決，請你聯繫生活實際，編一道二次函數應用題，並寫出函數關係式。

六、作業：