高三數學歸納法教案

高三數學歸納法教案

一、教學目標

1.瞭解歸納法的意義，培養學生觀察、歸納、發現的能力.

2.瞭解數學歸納法的原理，能以遞推思想作指導，理解數學歸納法的操作步驟.

3.抽象思維和概括能力進一步得到提高.

二、教學重點與難點

重點：藉助具體實例瞭解數學歸納的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數n(n取無限多個值)有關的數學命題。

難點：1、學生不易理解數學歸納的思想實質，具體表現在不瞭解第二個步驟的作用，不易根據歸納假設作出證明;

2、運用數學歸納法時，在歸納遞推的步驟中發現具體問題的遞推關係。

三、教學過程

(一)創設情景

對於數列{an}，已知 ， (n=1,2,), 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想其通項公式為 。這個猜想是否正確需要證明。

一般來説，與正整數n有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n較大時，驗證就很麻煩。特別是n可取所有正整數時逐一驗證是不可能的。因此，我們需要尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數都成立。

(二)研探新知

1、瞭解多米諾骨牌遊戲。

可以看出，只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：

(1)第一塊骨牌倒下;

(2)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致後一塊倒下。

思考：你認為條件(2)的作用是什麼?

可以看出，條件(2)事實上給出了一個遞推關係：

當第k塊倒下時，相鄰的.第k+1塊也倒下。

這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證(1)(2)成立。

2、用多米諾骨牌原理解決數學問題。

思考：你認為證明數列的通過公式是 這個猜想與上述多米諾骨牌遊戲有相似性嗎?你能類比多米諾骨牌遊戲解決這個問題嗎?

分析：

多米諾骨牌遊戲原理 通項公式 的證明方法

(1)第一塊骨牌倒下。 (1)當n=1時a1=1，猜想成立

(2)若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。 (2)若當n=k時猜想成立，即 ，則當n=k+1時猜想也成立，即 。

根據(1)和 (2)，可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。 根據(1)和(2)，可知對任意的正整數n，猜想都成立。

3、數學歸納法的原理

一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：

(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0時命題成立;

(2)(歸納遞推)假設n=k( )時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立。

上述證明方法叫做數學歸納法

注意：(1)這兩步步驟缺一不可。

(2)用數學歸納法證明命題時，難點和關鍵都在第二步，而在這一步主要在於合理運用歸納假設，結合已知條件和其他數學知識，證明當n=k+1時命題成立。

(3)數學歸納法可證明有關的正整數問題，但並不是所有的正整數問題都用數學歸納法證明，學習時要具體問題具體分析。

4、例題講解

例1 課本P94

例2 課本P94

例3.用數學歸納法證明：1+3+5++(2n-1)=n2。

證明：(1)當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立.

(2)假設當n=k時，等式成立，就是1+3+5++(2k-1)=k2，

那麼

1+3+5++(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2。

即當n=k+1時等式也成立。

根據(1)和(2)，可知等式對任何nN *都成立。

(三)課堂練習：

1、用數學歸納法證明：1+2+3++n= 。

2、課本P95練習1、2。

(四)小結 ：

數學歸納法的原理和步驟。

(五)佈置作業：