相關推論與強相關邏輯研究論文

1 何謂推論？

推論（reasoning）是從前提（為結論提供證據的已知事實或預設假説）推導出新結論的過程，是從已知或預設（即前提）到達未知（即新結論）從而獲取新知識、擴展已有知識的過程。一個推論過程一般由一系列被稱為推斷（argument）或者推理（inference）的步驟有序構成。人們所掌握的知識，尤其是抽象知識，並非所有都是自己親身經歷過後從直接的經驗總結得出的，而大部分都是根據已知知識通過推論而得到的。可以説，如果沒有推論這一手段，人類就不可能把知識寶庫擴展到今天如此豐富的地步。

舉一個用自然語言表達的推論的簡單例子。

（1）所有的有理數都可以表達為一對整數之比。

（2）π不能表達為一對整數之比。

所以

（3）π不是一個有理數。

（4）π是一個數。

所以

（5）至少存在一個非有理數（無理數）。

這裏，用一步推理先從前提（1）和（2）推出（3）作為結論，又用一步推理從前提（3）和（4）推出（5）作為結論，這樣的兩步推理構成一個完整的推論，從前提（1），（2）和（4）推出結論（5）。

推論的能力，尤其是抽象推論的能力（一般動物並不具備），無疑是人類智能最本質的特徵之一，因而應該是任何以實現人工人類智能（本文用此名詞以區別人工智能所實現的動物智能）為目標的計算智能系統都具備的必不可少的功能。説一個沒有具備推論能力的計算智能系統實現了人工人類智能，顯然有言過其實之嫌。儘管推論及其自動化曾經是計算機科學和人工智能科學中最活躍的研究課題，但關於推論的基本性質還有許多未解決問題需要探究，關於推論在計算機上的有效實現也還仍然有許多重要課題需要實踐。

2 何謂邏輯學？

在上述有關推論的一般哲學定義中，儘管説推論的前提要為其結論提供證據，但一個具體推論的前提是否實際上真正有效地為其結論提供了證據是獨立於一般定義的另一件事，也就是説，確實提供或者實際沒有提供都是可能的。因此就需要某種確切標準來區分鑑別正確、有效推論和不正確、非有效推論。邏輯學正是研究推論正確性或有效性學問的學科。邏輯學首先是關於推論（推理）的學問，它探索和研究究竟是什麼構成了正確、有效的推論，探索和研究用於區分鑑別正確、有效的推論和不正確、非有效的推論的一般原理和標準，探索和研究如何進行正確、有效推論而避免不正確、非有效推論的一般方法論。因此，歷史上，邏輯學從來就被稱之為“科學之科學，技藝之技藝”（司各脱，13世紀）、“所有其他科學之基礎”（塔斯基，1941）、“先於所有其他科學，以其思想和原理支撐所有科學之科學”（哥德爾，1944）。

另一方面，在各種各樣推論的前提和結論之間可以有多種不同種類的證據關係存在，而對不同的證據關係的認同與否就可以引導出不同的正確有效性標準。任何科學都是基於一些基本假設和基本原理建立起來的，一旦其中某個假設或原理被一個新的假設或原理所替換，可能會給予該門科學巨大影響，以至於產生一個全新分支。邏輯學也不例外，關於基本假設和基本原理的不同哲學動機可以引導出不同的邏輯有效性標準和邏輯系統。

3 作為邏輯學之核心的條件關係

在邏輯學中，一個形式為“如果（若，if）…，那麼（則，then）…”的句子通常被稱為條件命題（conditional position）或者簡單地被稱為條件句（conditional）；它用於斷定在句子的“如果（若，if）”部分和“那麼（則，then）”部分之間存在的某種充分條件關係。在一般情況下，一個條件句必然涉及由邏輯連接詞（connective）“如果…，那麼…”，也被稱為條件關係（conditional relation），來連接起來的兩個部分，它們分別被稱之為該條件句的前件（antecedent）和後件（consequent）。一個條件句的真實性不僅取決於其前件和後件的真實性，而在本質上更取決於兩者之間的必然相關性和充分條件性。條件關係概念在推論中起最基本的作用，因為任何推論形式都必須基於它，所以，條件關係概念一直都是邏輯學研究中最重要的課題，從而被認為是邏輯學的核心。

當研究和使用邏輯時，條件關係概念既會出現在對象邏輯（即作為對象，正在研究的'邏輯）之中也會出現在元邏輯（即作為工具，正在用於研究對象邏輯的邏輯）之中。在對象邏輯中，通常是在其形式語言中有一個用來表示條件關係概念的連接詞；同時，條件關係概念也通常用一個元語言符號表示，在該對象邏輯的證明論和模型論中用於描述邏輯後承（logical consequence）關係。另一方面，在元邏輯中，條件關係概念，通常會以自然語言形式表示，用於定義關於對象邏輯的各種元概念和描述關於對象邏輯的各種元定理。

從對象邏輯的觀點來看，有兩種類型的條件句，一類是經驗的條件句，另一類是邏輯的條件句。對於一個給定的對象邏輯，如果一個條件句的真值，從該邏輯的意義來説，必須取決於其前件和後件的具體內容而不能僅由其抽象形式來確定（亦即，從該邏輯的觀點來看，其前件和後件之間的相關關係被視為是經驗的），則該條件句被稱為該邏輯的經驗條件句；如果一個條件句的真值，從該邏輯的意義來説，僅取決於其抽象的形式而與其前件和後件的具體內容無關，因而可以被認為是普遍真的或普遍假的（亦即，從該邏輯的觀點來看，其前件和後件之間的相關關係被視為是邏輯的），則該條件句被稱為該邏輯的邏輯條件句；從該邏輯的意義來説，一個普遍真的條件句也被稱為該邏輯的一個必然歸結（entailment）。事實上，各種不同的邏輯系統之間最本質的區別就是把什麼樣的條件句視為、定義為必然歸結，正如Diaz所指出的：“現代邏輯中的問題可以最恰當地表述為：我們如何能夠給予那些表示了必然歸結的條件句一個合理的解釋？”

4 相關的推論與推論的經典有效性標準

在對推論、邏輯學、條件關係這些最基本的概念做了清晰的介紹之後，進入本文的主題。

先看幾個簡單的例子。（1）“如果雪是白的，那麼1+1=2”，（2）“如果雪是黑的，那麼1+1=2”，（3）“如果雪是白的，那麼1+1=3”，（4）“如果雪是黑的，那麼1+1=3”，這4個以自然語言形式表達的經驗的條件句陳述了4個簡單的推理（推論）。按照常識和經驗，大概誰也不會認為這4個推理是正確的，因為在這4個推理當中，無論前提與結論正確與否，從常識和經驗來看它們之間沒有任何關聯，亦即，沒有任何相關關係。這樣的例子當然還可以舉出很多，應有盡有，它們至少揭示了這樣一個事實：一個條件句（推理、推論）的前件（前提）和後件（結論）之間，可能不存在相關性，由這樣的條件句陳述的推理（推論），不應該被視為是正確的。基於這個事實，暫且把前提和結論之間具有相關性的推論稱為“相關的推論”，而把前提和結論之間不具有相關性的推論稱為“不相關的推論”。

接下來，來看一看經典數理邏輯和相關的推論之間的關係。經典數理邏輯（classical mathematical logic）是為了給數學家們的工作提供形式化語言來描述數學證明結構而建立起來的，其主要目的是對數學證明給予嚴格的描述（請注意，“經典數理邏輯是形式邏輯的現代化”這種説法是片面的、不正確的）。

在各種各樣的形式邏輯系統中，經典數理邏輯可以説是最簡單的。經典數理邏輯基於幾個基本假設，其中最基本的假設就是採用經典有效性（the classical account of validity）（亦即，一個推論是有效的若且唯若其前提為真時其結論不為假）作為推論（證明）的邏輯有效性標準；在經典數理邏輯的理論框架範圍內，人們必須以此標準來確定一個推論（推理）的結論是否實際上依據於其前提。

然而，因為經典有效性不要求推論（推理）的前提和結論之間必須存在相關關係，所以一個經典有效的推論（推理）之結論未必一定與其前提相關，甚至可以毫不相關。在人們的常識和經驗看來，不正確的推論卻有可能在經典數理邏輯的範圍內是有效的，換言之，經典有效性這個邏輯標準並非與人們常識和經驗中推論的正確性判斷標準完全一致。

那麼，是否有某種邏輯系統，其邏輯有效性標準考慮了推論之前提與結論間的相關關係？是否有某種邏輯系統，其邏輯有效性標準與人們常識中推論的正確性判斷標準完全一致？這是2個儘管陳述起來簡單但是在本質上、在哲學上、在邏輯學上相當難的問題。

5 “實質藴含悖論”問題

作為採用經典有效性的一個必然結果，經典數理邏輯用一個外延的真值函數連接詞“ 實質藴含（material implication）”（即一個藴含命題為假，若且唯若其前提為真且結論為假）來表示條件關係概念。經典數理邏輯中的外延的真值函數“實質藴含”沒有準確地表達條件關係概念。這就引出了所謂“藴含悖論”的問題，即如果把經典數理邏輯中的“實質藴含”視為（注意是“視為”）是條件關係，而把經典數理邏輯中的邏輯定理都視為有效的推理式或者必然歸結，那麼從推論（推理）正確性的角度來看，經典數理邏輯的許多邏輯定理都表現出悖論特性從而被稱作“實質藴含悖論（paradoxes of material implication）”。

對於經典數理邏輯的各種經典保存擴張（classical conservative extension）或者非經典替代（nonclassical alternative）的邏輯系統，只要經典有效性被採用為推論（證明）的邏輯有效性標準並且條件關係被直接或者間接地表示為實質藴含，那麼上述事實都仍然成立。

那麼，不考慮前後件之間相關關係的邏輯真“實質藴涵”條件句在應用上會帶來什麼問題？

可以清楚地認識到，由於系統內“實質藴涵悖論”的存在，經典數理邏輯是擔負不起“科學之科學，技藝之技藝”、“所有其他科學之基礎”、“先於所有其他科學，以其思想和原理支撐所有科學之科學”之重任的。

6 基於強相關邏輯的相關推論

儘管傳統相關邏輯已經排斥了那些傳統的藴涵悖論，但是在它們的邏輯定理集合當中也還仍然存在着一些邏輯定理，從我們通常使用條件關係的意義來看是不自然的。如果將傳統相關邏輯中的相關藴含視為是條件關係，而把相關邏輯中的邏輯定理都視為有效的推理式或者必然歸結，那麼從正確推論的角度來看，傳統相關邏輯的許多邏輯定理仍然表現出類似於“實質藴含悖論”的特性。這一情形，與把經典數理邏輯中的“實質藴含”視為是條件關係，而把經典數理邏輯中的邏輯定理都視為有效的推理式或者必然歸結時所產生的“實質藴含悖論”問題完全類似。

儘管“相關藴涵”比“實質藴涵”更恰當地表達了條件關係概念，但是類似於“實質藴涵”的情形，“相關藴涵”也還沒有完全準確地表達條件關係概念。

筆者於20世紀90年代前期命名這些相關邏輯的邏輯定理為“合取藴涵悖論（conjunction—implicational paradox）”和“析取藴涵悖論（disjunction—implicational paradox）”，因為在一個合取藴涵悖論條件句的前件中包含有不必要的、不需要的合取項，或者在一個析取藴涵悖論條件句的後件中包含有不必要的、不需要的析取項，或者兩者皆而有之。儘管相關性原理及變量共享保證了條件句中前件與後件的相關性，從而使得一個基於傳統相關邏輯的有效推論之結論必然與其前提相關，但是，前提和結論之間必須共享至少一個命題變量僅是一種較弱的相關性（可以通俗地解釋為“只要相關了就行”），而並未要求前提和結論之間必須共享所有的命題變量。所以，在任何傳統相關邏輯的理論框架範圍內，即便一個推論（推理）是相關有效的，它既無法保證其結論在條件關係意義下的真實性，也無法保證前提和結論之間的在條件關係意義下的相關性。這種情況與在經典數理邏輯裏“實質藴含悖論”的情況完全相似。從把推論視為人類獲取新知識之手段的角度來看，作為規定推論正確性有效性標準的基礎邏輯系統應該滿足的最基本要求：該邏輯必須保證有效的推論是在條件關係意義下是相關的（relevant）和保真的（truth preserving），亦即，對一個基於該邏輯的有效推論來説，在條件關係意義下，其前提和結論之間必然是相關的並且當其前提為真時其結論也必然為真。

7 基於強相關邏輯的相關推論在發現和預測中的關鍵作用

發現是尋找或者揭示某個前所未知事物的過程。預測是預先猜測某個未來事件的發生，因此，它是一個必定伴隨有某個時間參照點的概念。對於任何發現或者預測，被發現的事物或者被預測的事件必然是在發現過程和預測行為完成之前預先未知的，否則，就完全沒有必要去發現已知的事物或者預測已知的事件了。由於推論是從給定前提獲得預先未知的新結論之唯一途徑，因此，不存在有完全不祈求於推論的發現過程和預測行為。

因為對於任何發現或預測來講，在發現過程或預測行為之前都沒有一個完全明確定義清楚了的目標（注意，如果有了這樣一個目標，那麼那將是一個證明而不是一個推論），並且被發現的事物或被預測的事件及其真實性在發現過程或預測行為完成之前都是未知的，所以發現或預測時所進行的推論必須是相關的這一要求是合理的。這個要求，對於科學發現或預測來説，在哲學意義上是本質重要的；這是因為，為了評估被發現的事物或被預測的事件，科學家們必須遵循最一般的、獨立於正在實踐內容的正確性標準，它可以給出被發現的事物或被預測的事件的健全性保證。那麼，最一般的標準是什麼？在哪裏可以找到最一般的標準？正是邏輯學，作為“科學之科學，技藝之技藝”、“所有其他科學之基礎”、“先於所有其他科學，以其思想和原理支撐所有科學之科學”，可以提供這樣的標準；正是強相關邏輯，可以圓滿地支持相關推論，使得科學家們能夠以非循環的、非同義反覆的方式來評估所發現的事物或所預測的事件。

基於強相關邏輯的相關推論在發現和預測中有着廣泛的應用前景，可以毫不誇張地説，如果某個應用需要尋找獨立於具體領域的、一般的推論有效性標準，使得只要保證了前提的正確性之後，對依據該推論有效性標準推出的結論無需再評價就可以直接接受為正確的，那麼目前世界上符合此要求的只有強相關邏輯而無其他。

8 結論

相關邏輯現已成為哲學邏輯的一個重要分支。相關邏輯是以探究推論中相關的有效性為己任的唯一的一族邏輯系統。作為知識表達和推論的工具，相關邏輯所具有的許多有用特性是經典數理邏輯及其各種經典保守擴展或非經典替代都沒有的。

在條件關係意義下的強相關性對於任何發現和預測中的有效推論來説都是必不可少的；如果人們希冀通過推論來發現新的事物或預測未來事件，那麼應該求助於相關推論；事實上，當發現了一些新的事物或者預測了一些未來事件的時候，人們正是有意識地或無意識地進行了相關推論；基於強相關邏輯的相關推論，對於以發現或預測為其重要功能的各種計算智能系統來説，必然起到無可替代的關鍵作用。基於強相關邏輯的相關推論在知識科學以及人工智能科學中可以發揮許多重要的作用，事實上，如果不求助於某種方式的相關推論，許多具有挑戰性的問題都不能被完滿解決。