高中導數知識點總結

導數是微積分中的重要基礎概念。下面，小編為大家分享高中導數知識點總結，希望對大家有所幫助!

導數的定義：

當自變量的增量Δx=x-x0，Δx→0時函數增量Δy=f(x)- f(x0)與自變量增量之比的極限存在且有限，就説函數f在x0點可導，稱之為f在x0點的導數(或變化率)。

函數y=f(x)在x0點的導數f'(x0)的幾何意義：表示函數曲線在P0[x0，f(x0)] 點的切線斜率(導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率)。

一般地，我們得出用函數的導數來判斷函數的增減性(單調性)的.法則：設y=f(x )在(a，b)內可導。如果在(a，b)內，f'(x)>0，則f(x)在這個區間是單調增加的(該點切線斜率增大，函數曲線變得“陡峭”，呈上升狀)。如果在(a，b)內，f'(x)<0，則f(x)在這個區間是單調減小的。所以，當f'(x)=0時，y=f(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值

求導數的步驟：

求函數y=f(x)在x0處導數的步驟：

① 求函數的增量Δy=f(x0+Δx)—f(x0)

② 求平均變化率

③ 取極限，得導數。

導數公式：

① C'=0(C為常數函數);

② (x^n)'= nx^(n—1) (n∈Q*);熟記1/X的導數

③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = — sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 —(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanxsecx (cscx)'=—cotxcscx (arcsinx)'=1/(1—x^2)^1/2 (arccosx)'=—1/(1—x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=—1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2—1)^1/2) (arccscx)'=—1/(|x|(x^2—1)^1/2)

④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=—hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=—1/(sinhx)^2=—(cschx)^2 (sechx)'=—tanhxsechx (cschx)'=—cothxcschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2—1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2—1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2—1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1—x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln為自然對數) (Inx)' = 1/x(ln為自然對數) (logax)' =(xlna)^(—1)，(a>0且a不等於1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(—1) (1/x)'=—x^(—2)

導數的應用：

1.函數的單調性

(1)利用導數的符號判斷函數的增減性 利用導數的符號判斷函數的增減性，這是導數幾何意義在研究曲線變化規律時的一個應用，它充分體現了數形結合的思想。 一般地，在某個區間(a，b)內，如果f'(x)>0，那麼函數y=f(x)在這個區間內單調遞增;如果f'(x)<0，那麼函數y=f(x)在這個區間內單調遞減。 如果在某個區間內恆有f'(x)=0，則f(x)是常數函數。 注意：在某個區間內，f'(x)>0是f(x)在此區間上為增函數的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內是增函數，但x=0時f'(x)=0。也就是説，如果已知f(x)為增函數，解題時就必須寫f'(x)≥0。

(2)求函數單調區間的步驟(不要按圖索驥 緣木求魚 這樣創新何言?1。定義最基礎求法2。複合函數單調性) ①確定f(x)的定義域; ②求導數; ③由(或)解出相應的x的範圍。當f'(x)>0時，f(x)在相應區間上是增函數;當f'(x)<0時，f(x)在相應區間上是減函數。

2.函數的極值

(1)函數的極值的判定

①如果在兩側符號相同，則不是f(x)的極值點;

②如果在附近的左右側符號不同，那麼，是極大值或極小值。

3.求函數極值的步驟

①確定函數的定義域; ②求導數; ③在定義域內求出所有的駐點與導數不存在的點，即求方程及的所有實根; ④檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正，那麼f(x)在這個根處取得極小值。

4.函數的最值

(1)如果f(x)在[a，b]上的最大值(或最小值)是在(a，b)內一點處取得的，顯然這個最大值(或最小值)同時是個極大值(或極小值)，它是f(x)在(a，b)內所有的極大值(或極小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在[a，b]的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念。

(2)求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 ①求f(x)在(a，b)內的極值; ②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

5.生活中的優化問題

生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優化問題，優化問題也稱為最值問題。解決這些問題具有非常現實的意義。這些問題通常可以轉化為數學中的函數問題，進而轉化為求函數的最大(小)值問題。