參考高中數學測試題

1、．按右圖所示的流程，輸入一個數據x，根據y與x的關係式就輸出一個數據y，這樣可以將一組數據變換成另一組新的數據，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數據，變換成一組新數據後能滿足下列兩個要求：

（Ⅰ）新數據都在60～100（含60和100）之間；

（Ⅱ）新數據之間的大小關係與原數據之間的大小關係一致，即原數據大的對應的新數據也較大。

（1）若y與x的關係是y＝x＋p(100－x)，請説明：當p＝時，這種變換滿足上述兩個要求；

（2）若按關係式y=a(x－h)2＋k (a>0)將數據進行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關係式。（不要求對關係式符合題意作説明，但要寫出關係式得出的主要過程）

解：（1）當P=時，y=x＋,即y=。

∴y隨着x的增大而增大，即P=時，滿足條件（Ⅱ）……3分

又當x=20時，y==100。而原數據都在20～100之間，所以新數據都在60～100之間，即滿足條件（Ⅰ），綜上可知，當P=時，這種變換滿足要求；……6分

（2）本題是開放性問題，答案不唯一。若所給出的關係式滿足：（a）h≤20；（b）若x=20,100時，y的對應值m，n能落在60～100之間，則這樣的關係式都符合要求。

如取h=20,y=,……8分

∵a＞0，∴當20≤x≤100時，y隨着x的增大…10分

令x=20,y=60，得k=60

①

令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②

由①②解得，

∴。………14分

2、（2007年常德市第26題）．如圖11，已知四邊形是菱形，是線段上的任意一點時，連接交於，過作交於，可以證明結論成立（考生不必證明）．

（1）探究：如圖12，上述條件中，若在的延長線上，其它條件不變時，其結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請説明理由；（5分）

（2）計算：若菱形中，在直線上，且，連接交所在的直線於，過作交所在的直線於，求與的長．（7分）

（3）發現：通過上述過程，你發現在直線上時，結論還成立嗎？（1分）

解：（1）結論成立··········· 1分

證明：由已知易得

∴··················· 3分

∵FH//GC

∴············ 5分

（2）∵G在直線CD上

∴分兩種情況討論如下：

①

G在CD的延長線上時，DG=10

如圖3，過B作BQ⊥CD於Q，

由於ABCD是菱形，∠ADC=60，

∴BC=AB=6，∠BCQ=60，

∴BQ=，CQ=3

∴BG=········ 7分

又由FH//GC，可得

而三角形CFH是等邊三角形

∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH

∴，∴FH=

由（1）知

∴FG=·········· 9分

②

G在DC的延長線上時，CG=16

如圖4，過B作BQ⊥CG於Q，

由於ABCD是菱形，∠ADC=600，

∴BC=AB=6，∠BCQ=600，

∴BQ=，CQ=3

∴BG==14………………………………11分

又由FH//CG，可得

∴，而BH=HC-BC=FH-BC=FH-6

∴FH=

又由FH//CG，可得

∴BF=

∴FG=14+············· 12分

（3）G在DC的延長線上時，

所以成立

結合上述過程，發現G在直線CD上時，結論還成立． 13分

3、（郴州市2007年第27題）．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD沿對角線AC平移，平移後的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當點E與C重合時停止移動．平移中EF與BC交於點N，GH與BC的延長線交於點M，EH與DC交於點P，FG與DC的延長線交於點Q．設S表示矩形PCMH的面積，表示矩形NFQC的面積．

（1） S與相等嗎？請説明理由．

（2）設AE＝x，寫出S和x之間的函數關係式，並求出x取何值時S有最大值，最大值是多少？

（3）如圖11，連結BE，當AE為何值時，是等腰三角形．

解：（1）相等

理由是：因為四邊形ABCD、EFGH是矩形，

所以

所以 即：

（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，設AE＝x，則EC＝5－x，

所以，即

配方得：，所以當時，

S有最大值3

（3）當AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6時，是等腰三角形（每種情況得1分）

4、（德州市2007年第23題）．（本題滿分10分）

已知：如圖14，在中，為邊上一點，，，．

（1）試説明：和都是等腰三角形；

（2）若，求的值；

（3）請你構造一個等腰梯形，使得該梯形連同它的兩條對角線得到8個等腰三角形．（標明各角的度數）

解：（1）在中，，

．··················· 1分

在與中，；

，

．

··················· 2分

．

和都是等腰三角形．4分

（2）設，則，即．·············· 6分

解得（負根捨去）．················· 8分

5、（2007年龍巖市第25題）．（14分）如圖，拋物線經過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且．

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）寫出三點的`座標並求拋物線的解析式；

（3）探究：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點座標；不存在，請説明理由．

解：（1）拋物線的對稱軸·············· 2分

（2） ················ 5分

把點座標代入中，解得·········· 6分

················· 7分

（3）存在符合條件的點共有3個．以下分三類情形探索．

設拋物線對稱軸與軸交於，與交於．

過點作軸於，易得，，，

①

以為腰且頂角為角的有1個：．

················ 8分

在中，

··················· 9分

②以為腰且頂角為角的有1個：．

在中， 10分

············ 11分

③以為底，頂角為角的有1個，即．

畫的垂直平分線交拋物線對稱軸於，此時平分線必過等腰的頂點．

過點作垂直軸，垂足為，顯然．