材料力學彎曲應力課件

我們開始彎曲這一章，我們講了拉壓、扭轉、剪切，現在我們要講彎曲。彎曲的情況要比拉壓和扭轉更加複雜一些，它所涉及的問題更多一些，它和工程實際聯繫的更加緊密一些。因此，這一章和下一章都是特別重要的章節。在這一章中，我們首先要討論彎曲正應力，橫截面上有彎矩，那它就有了正應力，同時還要考慮彎曲切應力的問題，橫截面上有剪力，説明它有切應力存在。瞭解了正應力和切應力的情況，我們要討論樑的強度和破壞，這個思路和前面幾章是一樣的。特別的，要強調薄壁杆件中彎曲切應力的處理，最後呢，我們要講組合變形的應用。不僅僅是彎曲，而是彎曲和拉壓，彎曲和扭轉組合在一起的時候，如何來處理它的應力問題。因此，這章的內容是比較多的。

工程實際例子

我們來看看彎曲在工程中的應用。這是一個廠房，這是一個大梁，這個吊車可以在這個大梁上運動。對於這樣一個問題，我們可以把它簡化成一個簡支樑，這個吊車的移動呢可以處理成一個移動荷載。那麼對於這個移動荷載而言，它所導致的應力如何計算？行車移動時，它的應力如何變化？這就是本章的內容之一。

我們再看看這個圖片，這是我們拍攝的汽車的下部分，大家注意一些這個部分，這是就是汽車的板簧，它的模型就是這個樣子，可以看成好幾個鋼板的組合，那麼，為什麼要設計成這個樣子呢？它有什麼優點呢？這也是本章要解決的問題。

這是一個運動員，撐杆跳，對吧。大家常常見到，利用這個杆的助力，人可以跳的更高。我們可以處理成這樣一個模型。她在跳高的過程中，杆就發生了彎曲。那麼，這個時候，跳杆橫截面上的應力和杆曲率半徑有什麼關係？這個杆在什麼情況下才滿足強度要求？

大家看看這個場面，對於這個場面，我們截面幾何性質那章提到過，都是薄壁杆件，那麼薄壁杆件有彎曲正應力和彎曲切應力，專門有一小節來講解它的彎曲切應力，看看這些切應力有什麼特點？如何避免薄壁杆件的強度失效？這也是本章的問題

這個大家都熟悉，著名的比薩斜塔。對於這個結構，初步計算，我們可以簡化成這樣一個均質圓筒，那麼它有哪些變形效應？它的危險截面、危險點在哪兒？如何計算其應力？這也是本章可以解決的問題。因此，本章所涉及的問題是比較廣的。

基本內容

那麼本章到底需要同學們掌握哪些內容呢？

1、熟練張博橫截面上彎曲正應力和彎曲切應力的分佈規律，並能正確熟練的進行樑的強度分析。

2、熟悉提高梁強度的主要措施。

3、正確理解薄壁杆件橫截面上彎曲切應力的分佈規律，瞭解彎曲中心的概念。

4、熟悉掌握樑在組合變形中的應力的計算方法。

第一、第四條是很重要的。這是以後大家經常需要處理的問題。

基本概念

平面彎曲

首先我們來看彎曲正應力。在這章具體內容介紹之前呢，我們先介紹一些概念。關於樑彎曲的基本概念。樑的平面彎曲。什麼是樑的平面彎曲呢？這是一個懸臂樑，截面是矩形截面，那麼這個橫截面就有一箇中心對稱軸，整個樑就存在一個對稱面，如果我們的所有的外荷載都作用在這個平面之內，比如外荷載是這樣的，那麼發生變形後，樑的軸線仍然在這個平面內，像這樣的彎曲，我們就叫做平面彎曲。也就是説，樑彎曲後，它的軸線也保持在一個平面之內。像這樣的彎曲，我們就叫做平面彎曲。 純彎曲和橫力彎曲

什麼叫做純彎曲呢？     如果一個懸臂樑，只在它的端頭作用一個集中力偶，大家可以想象到，它的每個橫截面上，只有彎矩，沒有剪力。像這樣只有彎矩沒有剪力的彎曲，我們叫做純彎曲，純粹的彎曲。比如：這個舉重運動員。他的兩隻手把槓鈴杆舉起來，我們彎曲可以簡化成這樣一個模型，支座就相當於兩隻手，而兩個槓鈴盤的作用力就簡化成兩個向下的作用力。假如我們不考慮槓鈴杆自身的重量，雖然實際上是有重量的，在兩個手之間的部分就只有彎矩而沒有剪力。因為，這樣一個結構而言，整個黃色區段，剪力是為零的。而另外兩個區段就不是純彎曲。 橫力彎曲

什麼是橫力彎曲呢？當樑的橫截面上，有彎矩又有剪力的時候，我們就把這種彎曲叫做橫力彎曲。比如説，像這樣的貨架，我們考慮其中一個架子，我們可以把它考慮成承受均布荷載的懸臂樑，這個時候的懸臂樑，上面除了有彎矩之外，還有剪力。因此，它的彎曲就是橫力彎曲。又比如這樣的樑，承受三個集中力，這個樑的橫截面上有彎矩和剪力。總之，橫截面上只有彎矩的樑是純彎曲樑，而橫截面上有彎矩又有剪力的樑就是橫力彎曲的樑。

以後我們的推導呢，全是以純彎曲作為例子，來進行推導，再把推導的結果推廣到橫力彎曲中去。這個大家要注意。

平截面假定

關於樑的彎曲的假定有兩個，其中一個是平截面假定。這一點和拉壓扭轉是一樣的，當然，對於彎曲而言，它有自己的特點。這是一個懸臂樑，左邊是固定端，右端作用一個集中力偶矩。那麼，橫截面在變形前是一個平面，而變形後仍然也是一個平面。我們就把這樣一個現象叫做平截面假設。對於一個純彎曲而言的樑呢，變形前確實就是一個平面，而變形後也確實就是一個平面，這是一個精確的假定。換句話説，這個假定是完全符合客觀情況的。但是對於另外一種彎曲，杆端作用的不是集中力偶而是集中力的時候，這是一種橫力彎曲，橫截面上有彎矩和剪力。那麼，變形前是一個平面，而變形後不再是一個平面。也就是説，對橫力彎曲而言，平截面假定不是一個精確的假定，但是，我們以後就會明白，是這個平面上剪力的作用，導致這個平面發生翹曲，翹曲導致平面不再是平面，距離平面不遠的地方發生的微微的翹曲的情況，因此，它所帶來的誤差是工程中彎曲可以接受的，因此，對於橫力彎曲來説，這是一個近似的假設。

第二個假定：單向受力假定

什麼叫做單向受力假定？比如，我們在這個樑上取一個微元面，這個微元面是垂直於軸線的方向。那麼我們可以看到這個微元面上有正應力的存在，這就是橫截面上的正應力，假如我們把這個方向叫做x方向，我們就把這個應力叫做x，這就是我們承認他存在的正應力。剛剛我們取的是一個垂直於軸線的微元面，現在我們取一個面，讓他平行於我們的軸線，也就是y，我們認為0y，也就是説，我們在假設這樣一件事，比如這裏有一個樑，它發生了彎曲，比如發生一個正彎曲，那麼，我們認為在垂直於軸線的截面上有了正應力，可能在有的地方時拉，在有的地方是壓。但是，在同一個樑上，上下平行於軸線的兩個纖維之間，沒有拉壓，或者擠壓。也就是0y，這個樑上的沿着軸線的纖維被拉長或者縮短了的，那麼就説明在橫截面上是有正應力的。這就是單向受力假定。那麼，在什麼情況下，這個假定是精確成立的呢？在什麼情況下，這個假定又是近似成立的呢？剛剛我們在懸臂樑的右端作用一個集中力，或者作用一個集中力偶，那麼這種情況下。我們看到的微元面的地方都滿足單向受力假定。對於集中的荷載而言，這個假定就是精確成立的。但是有的時候並不是集中荷載，比如像圖中這樣的分佈荷載的時候，我們先考慮一下這個縱向截面，我們把這個微元面取到上表面，那麼這個時候根據力平衡，我們知道，y方向的應力就等於力平衡。因此，這個時候，我們不能説它等於零。當我們把這個縱向平面往下取一些，那麼我們會發現上面的.q對它的作用減小了。再往下一些就更小了，繼續往下，就消失了。（用手比劃）在y方向上應力是從大到小在變化的，另外，即使在最上面的面，它的外荷載就等於Q,而我們同時在這個面取一個橫截面，x方向的正應力比y方向的大的多。也就是説在y方向，這個應力在減小，即便在y方向上應力最大的地方，也比x方向的應力小的多。因此，我們往往就忽略y方向的應力，這就是我們的單向受力假定。

樑的彎曲，我們重點研究橫截面，不再研究縱向截面。以後，我們主要研究橫截面的正應力和橫截面的切應力，這是我們主要研究的內容。

中性層

還有一個概念叫做中性面，這是一個懸臂樑，承受一個集中力偶矩，發生瞭如圖的變形，我們可以想象到，上面部分，它的縱向纖維總是受拉的，而下半部分，它的縱向纖維總是受壓的，但是由於受力的連續性，那麼中間一定有一個面是既不受拉也不受壓，這是説，這個面既不被拉長，也不被壓縮。我們把這個面叫做中性面。他是樑的軸線纖維伸長區和縮短區的界面。

而中性面和橫截面那根交線，我們把它叫做中性軸，因此，在中性軸上，沿着軸的纖維既不伸長也不縮短。當然，中性面和中性軸都是在樑的裏面的。好了，這就是我們這章的準備性的概念，這章的內容比較多，所以需要提前準備的知識點也比較多。好了，我們知道這些知識以後，就可以來研究樑橫截面上的應力分析了。

橫截面上正應力

這個分析過程和以前扭轉給大家講的過程一樣，我們先交代一下這個分析的思路，仍然是我們力學十分重要的三個環節，第一個是幾何分析，第二個是物理分析，第三個是力學分析這樣三個環節，那麼具體到我們這個章節，我們首先討論幾何關係，再討論物理關係，最後討論力學關係。這點和扭轉的時候是一樣的，當時也是通過這樣的思路來討論。首先通過幾何關係推導出正應變和中性層曲率間的關係。有了幾何關係後呢，我們就可以轉入物理關係的討論，在我們現在討論的範疇中呢，物理關係主要是指正應力與中性層曲率之間的關係。