《想為難學生,卻被學生難住了》的教學反思案例

為了改進數學課堂教學，積極營造觀課文化氛圍，我們教研組決定每人一學期必須上一堂校內觀摩課。去年我在華師大教育碩士班學習一年，今年領導安排我任教初三，大家不約而同地都把目光集中在我身上。當時學生正處於全面複習階段。複習觀摩課怎麼上我心中實在沒底，此時我的複習進入到“平行四邊形的判定”。按過去習慣，複習課總是先幫助學生羅列知識點，然後講解例題，再輔之練習。在華師大學習期間，我對數學建構主義教學思想印象頗深，考慮到班級平時課堂氣氛活躍，師生配合融洽，我準備採用交流討論的教學方式。

那天，聽課的教師很多，大家都有些緊張。我先讓學生回憶四邊形的概念，作了凸（凹）四邊形區分後，接着就直奔主題：“給一個凸四邊形，加上什麼條件才是平行四邊形？”學生接二連三説了許多：1.兩組對邊分別平行；2.任意鄰角互補；3.一組對角相等，一組鄰角互補；4.對角線互相平分；5.兩組對邊相等；6.一組對邊平行且相等；7.一組對邊平行，一組對角相等；8.成中心對稱。

課上得很順利，氣氛相當活躍，學生回答的理由也很充分，我暗自高興。“還有嗎？”同學們紛紛搖頭表示沒有了。我心想怎麼沒人提“一組對邊相等、一組對角相等是平行四邊形”？因為這一命題的反例不太容易構造，所以我把它作為這節課的“殺手鐗”，正等學生上圈套呢。我等了一會兒，結果還是沒人提，怎麼辦？

為了打破僵局，我故意提高嗓門：“有一組對邊相等、一組對角相等的四邊形是平行四邊形。”並十分正式地把這句話寫在黑板上。教室裏立刻譁然。

A同學説：“是的，在四邊形ABCD中，假設AD=BC，∠B等於∠D，因為AC為公共邊，所以三角形ADC與三角形ABC全等……”還沒等他説完，後面有許多同學叫起來了：“邊邊角，不能判定。”A同學恍然大悟，笑了笑，坐了下來。“誰來試試？”有人嘀咕：“好像不是？”我接過話茬：“認為是的，給出證明；如果不是，舉出反例。”B同學舉手了，“A同學的證法不對，但不意味命題是假的，在四邊形ABCD中，仍然假設AD=BC，∠B等於∠D，過C、A點分別向對邊作垂線，垂足E、F，這時三角形BCE與三角形DAF全等，得CE=AF，∠BCE等於∠DAF。由此判定三角形ACE與三角形CAF是全等的，所以∠ECA與∠FAC相等，因此∠BCA等於∠DAC，所以AD平行於BC，所以是平行四邊形。”證明過程看起來沒漏洞，這怎麼可能呢？問題在哪裏？我一時拿不定主意，還是先聽聽其他學生的`意見吧。

C同學説：“B同學都證出來了，還有什麼話説！”我順勢也在黑板上畫了一個圖形，AB=AC，在BC上取一點E，連結AE，作∠AED等於∠EAC，並且ED=AC，這樣得到的四邊形ABED符合條件：AB=DE，∠ABE等於∠ADE，但不是平行四邊形。誰是誰非？教室裏的空氣頓時凝固起來。

B同學又接着發言：“老師，你已舉出反例，我不得不承認這個命題是假的，可是我還是沒發現我的證明在哪裏出了問題？”C同學搶着説：“這樣的反例誰又能想到呢？老師你是怎樣想到的？”正當我顯得有些尷尬，下課鈴響了，感謝上蒼留給我繼續思考的機會。

課後，教研組對這堂課展開了討論。

話題1：畢業班這樣上覆習課可行嗎？

賈老師：這堂課的特點是，通過師生、生生的討論，深入研究了平行四邊形的判定，方法之多令人大開眼界，這是課堂數學共同體活動的結果，顯示了學生學習的巨大創造力，學生的積極性被充分調動，營造了民主、平等的學習環境，實現了以學生為本的宗旨。在討論、交流的過程中，學生已有的以平行四邊形為中心的圖式得到了重新建構，圖式網絡進一步精緻化。毫無疑問，這樣的教學方法是積極的。但是課堂交流需要時間，複習進度怎麼辦？學生要不要解題訓練？最後中考怎麼辦？

郝老師：我認為這涉及到評價的問題。評價是教學的起點，也是教學的終點。西方強調的是對數學的理解，而我國曆來注重“雙基”訓練，苦練基本功。因此考試關注知識的覆蓋面，重視解題的熟練程度。為了考試得高分，“大運動量訓練”成為老師、學生的共識。不搞“大運動量訓練”就得不到高分嗎？我看未必，數學複習應從“反思”、“整合”、“運用”、“創新”這四個方面去考慮，關鍵是怎樣處理“理解”和“訓練”之間的關係。目前，國家正在進行課程改革，在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中時教師提出了許多很好的建議，我們應該儘快在課堂上有所體現。

話題2：學生B的問題出在哪裏？

譚老師：黃老師的最後一個問題可謂“一石激起千層浪”，然而學生B的問題出在哪裏呢？首先“有一組對邊相等，一組時角相等的四邊形是平行四邊形”這個命題不同於“三角形有兩個鈍角”這樣的假命題。後者可以通過邏輯的推理，判斷其偽。但前者既含有真的情況，又含有假的情況，不能靠邏輯推理來判斷真假，只能靠構造反例來説明。