垂徑定理及其推論的説課稿

各位專家、評委：

你們好！很高興能有機會參加這次活動，並得到您的指導。

我説課的題目是：圓的軸對稱性——垂徑定理及其推論。它是人教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》九年級上冊第二十四章第一節的第二部分《垂直於弦的直徑》的內容。。

這部分內容教材安排了兩課時，其中第一課時講圓的軸對稱性，第二課時講圓的旋轉不變性。

結合我對教材的理解和我所任教班級學生的實際情況，我將圓的軸對稱性一課時內容調整為兩課時，今天我所講的是第一課時——垂徑定理及其推論。

下面，我就從教學內容，教學目標、教學方法與手段、教學過程設計等四個方面進行説明。

一、教學內容的説明

教師只有對教材有較為準確、深刻、本質的理解，並從“假如我是學生”的角度審視學生的可接受性，才能處理好教材。

垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質，是證明線段相等、弧相等、垂直關係的重要依據，為進行圓的計算和作圖提供了重要依據，因此這部分內容是學習的重點， 垂徑定理及其推論的題設和結論較為複雜，容易混淆，因此也是學習的難點。

鑑於這種理解，通覽教材，我確定出如下教學內容：

(1)瞭解圓的軸對稱性。

(2) 弄清垂徑定理及其推論的題設和結論。 (3)運用垂徑定理及其推論進行有關的計算和證明。

(4)學會與垂徑定理有關的添加輔助線的方法。

教學重點：垂徑定理及其推論

教學難點：垂徑定理的證明方法，其中圓的軸對稱性是理解垂徑定理的關鍵。

二、教學目標的確立

根據本課的具體內容、學生的實際情況，我確立瞭如下的教學目標：

1、通過直觀演示瞭解圓的軸對稱性。

2、通過“試驗——觀察——猜想——證明”掌握垂徑定理及其推論。

3、運用垂徑定理解決有關的證明、計算和作圖問題。 4、培養學生的數學直覺能力、抽象概括能力。激發學生的探索精神。

三、教學方法與手段的選擇

在教學方法方面:本節課主要採用了教師啟發引導下的學生自主探究、小組合作學習以及分層教學、分層評價的方法。

在教學過程中，遵循“實驗－觀察－猜想－證明－討論－總結－應用”這一思路，使學生由感性認識上升到理性認識，再到實際應用。遵循“階梯式發展”原則，引導學生在獨立分析、認真思考的基礎上，以小組討論等形式合作探究，進而解決問題、掌握方法。同時，考慮到不同層次學生的學習需要，在所提問題、例題、習題的設置上，均力爭使每名學生都有所得。

在教學手段方面：我採用教（學）具直觀演示與計算機輔助教學，以提高課堂教學效率。

四、教學過程的設計

1、堅持一條原則：學生是主體，教師是教學過程的組織者、引導者、合作者。

2、圍繞一個目的：落實教學目標

3、突出一個特點：通過“實驗－觀察－猜想－證明－應用”幫助學生實現由感性認識到理性認識的過渡

4、採用一種手段：藉助教具的直觀性和計算機輔助教學，啟發引導學生髮現定理，從而抽象概括出定理

5、收到一個效果：使學生通過本節課的學習，能夠理解定理的內涵，學會運用定理解決問題。同時使學習知識、培養能力和優化思維品質融為一體。

學法指導：

動手操作、 觀察猜測、 交流討論、 分析推理、 歸納總結，在此過程中使學生積極參與，交流互動。

本課的教學過程包括：

以舊引新、引導探究——動手操作、觀察猜想——指導論證、引申結論——多方練習、分層評價——反思小結、佈置作業五個環節。

（一）以舊引新、引導探究

人類認識事物大多遵循由感性認識到理性認識，由舊知到新知的上升過程，為此我先引導學生複習與本課新知識有關的舊知識，出示如下兩個問題：

（1）什麼是軸對稱圖形

（2）觀察下列圖形哪些是軸對稱圖形？並指出對稱軸條數。

其中第一題的目的在於喚起學生記憶，明確軸對稱圖形的概念。進而選取幾種常見的幾何圖形讓學生判斷，其中的平行四邊形是從反面強化對軸對稱圖形的理解。 第二組是有關車標圖案的軸對稱圖形，使學生知道我們身邊隨時隨地都有軸對稱圖形的存在，此時可讓學生再舉幾個實際例子，以激發學生的興趣。

然後出示圓，提問：圓是軸對稱圖形嗎？

它有幾條對稱軸？

對稱軸在什麼位置？

進而通過學生摺疊圓形紙片、

教師投影演示明確：

圓是軸對稱圖形，它有無數條對稱軸，過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。

這樣通過創設問題情境，激發學生的求知慾，以舊引新，引出本課課題——圓的軸對稱性。

（二）動手操作，觀察猜想

首先讓學生按要求在事先準備好的圓形紙片中畫圖摺疊、觀察、猜想。 ⅰ 畫出⊙O的一條弦AB

ⅱ 過O畫AB的垂線交⊙O於C、D兩點，垂足為E.

問題1：過O點垂直AB的直線有幾條？（説出理由）

設計意圖：明確垂直於弦的直線有且只有一條。

問題2：直徑CD還有什麼性質？（投影）

1、引導學生將⊙O紙片沿直徑CD摺疊，觀察重合部分，猜想結論

2、小組交流猜想結論。

3、教師投影演示與學生共享猜想結論

設計意圖：通過調動學生的多種感官功能，使學生在動手動腦中強化思維品質。同時為用“疊合法”證明垂徑定理起鋪路搭橋的作用。

（三）指導論證，引申結論

在師生共同得出猜想結論後，教師追問質疑：猜想的結果是否正確，必須要加以證明，將學生的活躍思維從實驗猜想拉回到對猜想的嚴格證明中。 教學安排：

學生回答已知、求證後教師投影。

隨後指導學生從圓的軸對稱性入手，討論出聯結OA和OB後，抓住只要能夠證出直徑CD既是等腰三角形OAB的對稱軸，又是圓的對稱軸，即可利用圓的`軸對稱性證明出結論。進而讓學生試述，教師板書證明過程。

進而總結出垂徑定理的內容。並引導學生分析出定理的題設和結論。説明知道了題設的兩個條件，就可以得出三個結論。

此時出示判斷題

(1)過圓心的直徑平分弦（×）

(2)垂直於弦的直線平分弦（×）

(3)⊙O中，OE⊥弦AE於E，則AE=BE（√）】

引導小組討論，允許爭論，關鍵要讓學生説明理由，舉反例。交流討論、統一思想後，教師要充分利用評價機制鼓勵學生，並強調垂徑定理 圓的軸對稱性——垂徑定理及其推論題設中的兩個條件缺一不可。同時説明垂徑定理條件中的“直徑”是指過圓心的直線，但在應用該條件時可以不為直徑，如半徑、圓心到弦的距離照樣可以得到平分弦的結論。

然後再次通過提問：如果將題設中的兩個條件改為“直徑平分弦”，能否得出其它三個結論呢？自然的引出對例1的教學：

【例1：已知:如圖，在⊙O中，直徑CD交弦AB於E，AE=BE

求證：CD⊥AB, 】

通過教師引導、小組討論分析證明出垂徑定理的推論：平分弦(非直徑)的直徑垂直於弦，且平分弦所對的兩條弧。使學生初步認識到將定理中題設的兩個條件之一與三個結論之一交換一個，也可得出其它三個結論。然後再次出示小組討論題，

【小組討論：下列命題是否正確？説明理由

1、弦的垂直平分線經過圓心，且平分弦所對的兩條弧。(√)

2、平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，且平分弦所對的另一條弧(√)】

進一步強化剛才的初步認識，進而歸納總結出其中規律：五個條件，知二推三。在整個過程中教師要及時引導學生通過畫圖分析、討論，説明理由，辨別正誤，從而有效的突破難點，突出重點。

O

（四）多方練習，分層評價

【例2、已知：如圖在⊙O中，弦AB的長是8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。】

1、選題意圖

至此，學生們對垂徑定理及其推論的基本知識應該掌握了，為了使學生再上一個台階，更好的將知識點落到實處。我安排了例2，試圖通過此例，使學生明確：在解決有關弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問題時，通常是將垂徑定理和勾股定理結合起來。達到一通百通的目的。併為例3的教學鋪平道路。

2、教學安排

ⅰ 解決問題：此題先提醒學生審清題意，思考如何構造出圓的半徑及圓心O到弦AB的距離。在個人獨立思考建立圖形以後，進行小組交流、討論。最後各組派代表展示學習成果並説明理由，教師點撥，最後投影出完整解題步驟。 ⅱ 反思拓展：提問：在解答此題的過程中，你用到了幾個定理？

通過討論，使學生體會到：在解決有關弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問題時，通常是通過構造直角三角形將垂徑定理和勾股定理結合起來。

然後，趁熱打鐵，通過三個難度不同的練習，進一步鞏固剛才討論得出的成果。

【 A組 在圓中某弦長為8cm，圓的直徑是10cm，則圓心到弦的距離是( 3 )cm B組 在圓O中弦CD＝24，圓心到弦CD的距離為5,則圓O的直徑是( 26 ) C組 若AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB於E，AE＝16，BE=4,則CD＝( 16 )】 ⅲ 分層評價：學生的認知水平是不同的，所以我有意識的將題目按由易到難的順序分成了A、B、C三組，其中A組題是為學困生編寫的；B組題絕大多數同學應該掌握；C組題難度稍大，但稍微動一動腦，也不是不能做出的，是為中上等同學準備的。

需要説明的是：學生每做對一組題就可獲得一個滿分，教師此時巡視指導並及時評判各組當中做完的同學，而且不管是誰只要做對了題，都可以為本組同學判題打分。這樣安排，使不同層次的學生都學有所得，調動學生的學習熱情。

然後各組請代表説明解題思路。熱身之後，出示例3：

【例3、已知⊙O的直徑為4cm，弦AB=，求∠OAB的度數】

1、選題意圖：在鞏固例2成果基礎之上，出示例3，是為了將解直角三角形與垂徑定理的知識銜接起來，使知識之間融匯貫通——你中有我，我中有你。

2、教學安排：

ⅰ 解決問題：提問：求角度問題，可否通過解直角三角形的問題解決？ 學生自然會聯想到構造直角三角形，進而作出正確的輔助線。然後利用特殊角的三角函數值求出鋭角的度數。學生展示成果後，教師出示完整解題格式，並追問：還有沒有其它的解題方法？此時 圓的軸對稱性可能有的學生通過得出弦心距的長度，利用在直角三角形中，若一條直角邊等於斜邊一半，則該直角邊所對角為30°，亦可。教師要給予充分的肯定和鼓勵性評價。然後再通過一道證明題，

【練習：已知如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓於C、D兩點。 求證：AC=BD 】

再一次的鞏固垂徑定理及輔助線的做法。

ⅱ 反思拓展：在圓中，解有關弦的問題時，常常需要作出“垂直於弦的直徑”作為輔助線，實際上，往往只需從圓心作弦的垂線段。

（五）反思小結、佈置作業

這個環節主要讓學生談談本節課的收穫和體會。我根據情況適當補充。然後仍按照學生層次佈置分層作業。這樣最大限度的調動學生學習的積極性，使不同層次的學生都有所獲，在原有的基礎上得以發展、提高。

以上是我對本節課的説明，不妥之處，敬請專家、評委指正。謝謝大家！