勾股定理的逆定理教學設計

目標和目標解析

1.目標

(1)理解勾股定理的逆定理.

(2)瞭解互逆命題、互逆定理.

2.目標解析

達成目標(1)的標誌是學生經歷“實驗測量-猜想-論證”的定理探究過程後,能應用勾股定理的逆定理來判定一個三角形是直角三角形;

目標(2)能根據原命題寫出它的逆命題,並瞭解原命題為真命題時,逆命題不一定為真命題.

三、教學問題診斷分析

勾股定理的逆定理的證明是先作一個合適的直角三角形,再證明有已知條件的三角形和直角三角形全等等,這種證法學生不容易想到,難以理解,在教學時應該注意啟發引導.

本課的教學難點是證明勾股定理的逆定理.

四、教學過程設計

1.創設問題情境

問題1 你能説出勾股定理嗎?並指出定理的題設和結論.

師生活動:學生獨立回憶勾股定理,師生共同分析得出其題設和結論,教師引導指出勾股定理是從形的特殊性得出三邊之間的數量關係.

追問1:你能把勾股定理的題設與結論交換得到一個新的命題嗎?

師生活動:師生共同得出新的命題, 教師指出其為勾股定理的逆命題.

追問2:“如果三角形三邊長、b、c滿足,那麼這個三角形是直角三角形.”能否把它作為判定直角三角形的依據呢?本節課我們一起來研究這個問題.

【設計意圖】通過對前面所學知識的歸納總結,自然合理地引出勾股定理的逆定理.

問題2 實驗觀察:用一根打上13個等距離結的細繩子,讓學生操作,以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長,用釘子釘成一個三角形,請學生用角尺量出最大角的度數(900).

師生活動:學生動手操作,教師適時指導,並介紹這是古埃及人畫直角的方法.

追問:你能計算出三邊長的關係嗎?

師生活動:師生共同得出.

【設計意圖】介紹前人經驗,啟發思考,使學生意識到數學來源於生活.

實驗操作:(1)畫一畫,下列各組數中兩個數的平方和等於第三個數的平方,分別以這些數為邊長(單位:cm)畫三角形:

①2.5,6,6.5;②4,7.5,8.5.

(2)量一量:用量角器分別測量上述各三角形的最大角的度數.

(3)想一想:判斷這些三角形的形狀,提出猜想.

師生活動:教師引導學生畫三角形,並計算三邊的`數量關係:,. 接着度量三角形最大角的度數,發現最大角為900,並猜想:如果三角形的三邊長、b、c滿足,那麼這個三角形是直角三角形.把勾股定理記着命題1,猜想的結論作為命題2.

【設計意圖】讓學生經歷測量、計算、歸納和猜想的過程,瞭解幾何知識的探索過程.

問題3 命題1和命題2的題設和結論分別是什麼?

師生活動:學生獨立思考回答問題,命題1的題設是直角三角形的兩直角邊分別,斜邊為,結論是;命題2的題設是三角形三邊長滿足,結論是這個三角形是直角三角形.教師引導學生分析得出這兩個命題的題設和結論正好是相反的.歸納出互逆命題概念:兩個命題的題設和結論正好相反,象這樣的兩個命題叫做互逆命題,如果其中一個叫原命題,那麼另一個就叫做它的逆命題.

問題4 請同學們舉出一些互逆命題,並思考:原命題正確,它的逆命題是否也正確呢?舉例説明.

師生活動:學生分組討論合作交流,然後舉手發言,教師適時記下一些互逆命題,其中既包含有原命題、逆命題都成立的互逆命題,也包括原命題成立逆命題不成立的互逆命題.(如:①對頂角相等和相等的角是對頂角②兩直線平行,內錯角相等和內錯角相等,兩直線平行③全等三角形的對應角相等和對應角相等的三角形是全等三角形.)

追問1: 在我們大家舉出的互逆命題中原命題和逆命題都成立嗎?

師生活動:學生舉手發言回答,另一學生糾錯.同時教師引導學生明確:(1)任何一個命題都有逆命題,(2)原命題是正確,逆命題不一定正確,原命題不正確,逆命題可能正確,(3)原命題與逆命題的關係就是命題中題設與結論“互換”的關係.

【設計意圖】讓學生在合作交流的基礎上明確互逆命題的概念,在生生互動的過程中掌握互逆命題的真假性是各自獨立的.

2.勾股定理的逆定理的證明

問題5 原命題正確,它的逆命題不一定正確.那麼勾股定理的逆命題正確嗎?如果你認為是真確的,你能證明這個命題“如果三角形的三邊長、b、c滿足,那麼這個三角形是直角三角形”嗎?

師生活動:教師引導學生要證明一個命題是真命題,首先要分析命題的題設及結論,讓學生獨立畫出圖形,寫出已知求證.

3. 已知,如圖,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=,且,

求證:∠C=900

【設計意圖】引導學生用圖形和數學符號語言表示文字命題.

追問:要證明△ABC是直角三角形,只要證明∠C=900,

由已知能直接證嗎?

師生活動:教師引導,如果能證明△ABC與一個以、b為直角邊長的Rt△A/B/C/全等。那麼就證明了△ABC是直角三角形,為此,可以先構造Rt△A/B/C/,使A/C/=b,B/C/=,

∠C/=900,再讓學生小組討論得出證明思路,證明了猜想的正確性.教師適時板書出規範的證明過程.

4..課堂小結

(1)勾股定理的逆定理的內容是什麼?

(2)原命題、逆命題之間的關係.

(3)用什麼方法證明勾股定理的逆定理.

【設計意圖】回顧和梳理勾股定理的逆定理,會運用其解決一些問題,體會構造及數學建模思想.

6.佈置作業

教科書第33頁練習第1,2題,習題17.2第4,5題.