數學知識不確定性的價值及其實現論文

20世紀末21世紀初,人類知識觀發生了重大變化：知識不再被認為是“真理”而被當作一個暫時的結論。它有待發展、修訂與完善。正如波普爾（Pop?per,K.)所言：“所有的科學知識，不僅是科學知識,在實質上都是‘猜測性的知識’，都是我們對於某些問題所提出的暫時回答”。換句話説,人們認為知識具有不確定性。由於知識是教育的主要內容，因此知識觀的變化必然帶來教育的變化。本文主要討論數學知識的不確定性及其教學問題。

一、數學知識的確定性及其教育侷限

數學知識具有確定性,其發展也是沿着確定性的道路進行的,但這種確定性是有限度的。超過了這個限度,將不利於數學教育價值的實現。

(一)數學知識的確定性及其表徵

1.數學知識確定性的涵義

通常認為，在所有知識中，數學是最確定的。正因為如此，某門學科能否稱為“科學”，關鍵就看其能否被數學化（即能否運用數學的方法來進行研究）。數學成了衡量其它學科能否成為科學的標準。比如，社會學之所以成為一門科學，就在於孔德（Comte,A.)將實證（其中最主要是運用了數學的手段）方法引入了社會學。那什麼是數學知識的確定性呢？簡而言之,數學知識的確定性是指數學的知識結論是精確的,而且這一結論是可信的。數學知識的確定性既指數學知識是精確的,也指數學知識是客觀的，還指數學知識是永恆的、超越時空的。

2.數學知識確定性的表徵

(1)數學知識確定性的歷史追溯

數學知識自產生起,就沿着確定性的道路向前發展。柏拉圖（Plato)將世界劃分為在的世界和變的世界，數學屬於在的世界，是不變的。在《理想國》第七卷中，他認為數學是科學，強調“科學的真正目的是純粹為了……關於永恆事物的，而不是關於某種有時產生和滅亡的事物的……知識”歐幾里得（Euclid,A.)的《幾何原本》被當作是確定性數學知識的代表作,全書包括23條定義、五條公理和五條公設。歐幾里得認為公設是適用於一切科學的真理，公理是幾何學中的真理，它們都是確定無疑、無須證明的。

中世紀,人們認為數學知識是上帝預先設計好的、確定的客觀真理。在《哲學原理》中，笛卡爾（Descartes,R.)認為要使哲學能夠統一所有科學，必須要用數學方法（後來他將這稱為“普遍數學”，“絕不接受我沒有確定為真的東西”。這句名言更是詮釋了他對數學確定性的追求。可以説,在20世紀以前，數學發展的歷史就是追求數學確定性的歷史。

(2)數學知識確定性的權威定位

歷代的數學權威都認為，數學是不變的真理；甚至認為“自然法則就是數學規則”。柏拉圖認為“只有從理想世界是數學知識來理解現實世界的實在性和可知性,無疑這個世界是數學化的”。在他看來,只有掌握了數學，才能理解這個世界。因此,在柏拉圖學園門口處掛着這樣一個標牌：“不懂幾何學者免進”。他認為，只有精通幾何,才能夠學習其它學科。畢達哥拉斯派甚至提出“萬物皆數”，將音樂、行星運動歸結為數的關係,認為數是萬物的代表,萬物都可歸結到數中。拉普拉斯（Laplace,P.S.)認為“如果一個有理性的人在任何時刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切資料，那麼他就能用一個方程式表達宇宙中最龐大的物體和最輕微的原子的運動”，表明在他看來方程式可以表達並解釋宇宙間所有運動，這句話也被當作追求確定性的最高描述，即拉普拉斯方程式。蘭德爾（Randall,J.H.)在《現代思想的形成》中指出“科學起源於用數學解釋自然界這種信念,而且在很久以前這個信念就為經驗證實了”，從中可以看出數學是近代科學形成的前提。由此可知,從古希臘起,確定性數學知識在所有知識中佔據權威的地位。

(3)數學知識確定性的價值澄明

數學知識確定性的表徵還表現為，將確定性的數學知識應用到其它學科中去,取得了巨大成就。

首先,對確定性數學知識的追求促進天文學、物理學等自然學科的發展。如高斯（Gauss,K.F.)在24歲時運用數學知識觀察小行星穀神星，並預言了這顆行星的軌跡。伽利略（Galileo,G.)運用數學知識來描述和解釋自由落體規律,促進物理力學的發展。牛頓（Newton,I.)受伽利略影響,將數學作為描述自然定理的一個工具,如在解釋萬有引力時,摒棄物理原理而只用數學原理。在《自然哲學的數學原理》一書中，對天文學、物理學和數學等學科知識的證明或求解,也都採取完全數學化的過程，以大量的數學分析為基礎，用微積分和幾何學知識來解釋説明物體運動和宇宙體系,促進了物理學、天文學學科的發展。

其次,對確定性數學知識的追求也促進了音樂、哲學、統計學等人文學科和社會學科的發展。公元前600年,畢達哥拉斯學派用數學方法研究琴絃震動，建立了關於音樂的理論。康德（Kant,I.)認為數學是先天的理性真理，對數學真理的追求促進其哲學思想體系的形成‘康德的問題是揭示數學如何能先天被知道,而又能以無可更改的確定性地應用於所有經驗”統計學中定量研究要求對數據進行精確的計算和分析。建築設計要求有精確的數字比例以達到完美的效果。

(二）確定性數學知識的侷限

作為自然科學的基礎,數學知識確實具有客觀性、準確性和普遍性。追求確定性數學知識本身沒有什麼錯,錯在“唯確定性”，即人們過於強調其確定性,排除了其它的可能性。在教學中，如果過於強調數學知識的確定性,就會嚴重限制教師的教和學生的學，不利於學生全面自由的發展。

1.限制了教師教學的主體性

眾所周知,教師是教學過程的重要主體之一。他之所以成為主體,並不僅僅是説他決定着教學進度、教學方法、教學評價等,而且還指他是知識的主體。即是説，當教師可以在課堂上用自己的方式講述自己的知識時,他才是一個真正的主體。過度重視確定性數學知識,容易使教師形成這樣一種教學觀:數學教學向學生演繹、解釋數學真理。對於數學知識而言，教師沒有權力和能力去改變，甚至不能有一點不同於書本的理解。在這樣的教學中，教師雖然講述着數學知識，但卻是以他人規定好的方式講述他人的知識。他不但沒有成為知識的主體,反而被知識奴役。這種教學對教師來説是痛苦的，因為他不能自主,沒有激情和創造性,並由此陷入一種惡性循環：“學術生涯使他感到痛苦,他要把同樣的痛苦加諸於學生一這是對自我本身深感困擾的痛苦”。這樣,教師無法在教學中進行反思和建立自我感,最終使自己與教學分離。

2.窄化了數學教學的內容

由於數學本身被認為是確定性知識的典範，同時加上人們通常認為基礎教育的主要任務是向學生傳授基礎知識（基礎知識一般是指具有確定結論的知識），於是確定性的數學知識幾乎成了數學教學的唯一內容,或者説不確定的數學知識僅僅是教學內容的點綴。

過度強調數學知識的確定性，限定了數學教學內容。一是將數學教學的內容限定為那些確定性的內容,不確定性的數學知識沒有資格成為數學教學的內容,或者説所佔比重非常小。二是教師在講授確定性的內容時,不敢加以引申，僅僅侷限於那個內容。不僅數學內容的範圍被限制了，內容的深度也被限制了。在講授數學知識時,教師認為數學答案就是唯一的，因此很少在課堂上與學生深度探討數學問題。數學知識對於學生來説,就像是庫存的展品，學生站在展品面前欣賞,但卻無法觸摸其真正的內涵，無法看到知識的多元意義。其實，對每個學生來説，“知識的現實意義是多元的、多樣的、意義的，實現方式也是無限的”。

3.不利於學生創造力的培養

“創造力是一種產生新穎事物的能力，是一種解決問題的能力，是一種破除傳統的能力。”培養學生的創造力是數學教育的重要目標。新數學課程標準指出：“數學教學活動,要引發學生的數學思考,鼓勵學生的創造性思維”。M確定性數學知識觀,不僅無益於,反而會阻礙學生創造力的培養。

由於將數學知識當作是客觀的、永恆的，因此人們不僅不敢質疑它，而且認為沒有必要質疑它。然而“知識原本是他人對世界的一種看法，把知識當作絕對真理意味着承認他人看法的唯一合法性而否定了自己看法的必要性和合理性。”13教學過程中，過於強調數學知識的確定性,會導致學生被動地“接受”數學公式、定理與答案。因此方面學生不能形成數學批判思維能力；另一方面，學生思想被禁錮，不敢大膽想象,而批判與想象是創造的前提。正如杜威（Dew-ery,J.)所説“教育最大的錯誤在於認為一個人只學習他當時所學的特定事物”。

二、數學知識的不確定性及其價值

數學知識的確定性在19世紀出現了斷裂，因為在這個世紀,人們發現數系、幾何等知識都具有不確定性。數學知識不確定性的發現,對數學、對教育都具有重要意義。

(一)數學知識不確定性的涵義

數學知識的不確定性是指數學知識具有開放性和模糊性等特徵。數學知識的開放性是指,數學知識並不是靜止不變的，而是一個動態變化發展過程；它有可能被推翻。數學知識的模糊性是指數學結論本身具有不精確性,如概率論、模糊數學和灰色數學等,都具有模糊性。

數學發展到19世紀,就陷入自相矛盾的境地。數學知識不再是非此即彼的，而是亦此亦彼的。數學的.發展也超越了其固有的邏輯路線，這從數系、函數和幾何等板塊的發展過程中可以看出。

在數系中，無理數、複數的出現,表明數具有不確定性。以前，整數、分數和小數是確定的數。畢達哥拉斯派認為線段的長度與它所對應的原子數目之間的比例是一一對應的，因此直角三角形的三邊之比都應是整數比，_些例子也證明它的“正確性”，如3:4：5、：12:13、：15：17等直角三角形。然而後來畢達哥拉

斯學生髮現當兩直角邊均為1時,斜邊為槡,這樣斜邊既不是整數,也不是分數，在線段中無法找到一個具體的點,歷史上將槡稱作不可公度比。後來人們就將類似於在的數統稱為無理數。

傳統意義上，人們將函數定義為：設在某變化過程中有兩個變量x、y,如果對於x在某一範圍內的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與它對應，那麼就稱y是x的函數,x叫做自變量。然而正切函數的出現,表明當x為90°時,y無限接近但永遠不會等於一個值,y成為一個不確定的值。

幾何學中，歐氏幾何一直被當作是唯一正確的幾何學，定理和公設是確定不移的真理,然而許多數學家卻發現它並不是確定無疑的。例如在歐氏幾何中三角形內角和等於180°,鮑耶（Bolyai,J.)和羅巴切夫斯基（Lobachevsky,N.I.)卻證明三角形內角和小於180°,即雙曲幾何。同時黎曼（Giemann,G.B.)也得出結論:三角形內角和大於180°,即黎曼幾何。雙曲幾何和黎曼幾何（兩者統稱為非歐幾何）的出現,表明三角形內角和等於180°並不是確定無疑的真理。

(二)數學知識不確定性的價值

1.為數學學科的繁榮提供了可能

正是由於數學知識本身的不確定性,促使數學不斷髮展。如歐氏幾何第五公設（即平行公設）：同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角的和，則這二直線無限延長後在這一側相交。1826年，羅巴切夫斯基提出一條與之相反的公理:過平面上一已知直線外的一點至少可以引出兩條直線與該已知直線不相交。1854年，黎曼有得出一個相反的命題:過直線外一點不能引出與該直線不相交的直線。因此,正是由於第五公設陳述上的模糊性促進非歐幾何的出現。

再如18世紀以後,人們發現微積分也存在着邏輯上的侷限性，如數學家也無法明確給極限和無窮小下定義。然而正是由於這一侷限促使歐拉（Euler,L.)提出了不定積分和定積分的概念,柯西（Cauchy,A.L.)給出了極限、連續、導數、微分和積分等一系列微積分基本概念的嚴格定義。

2.為教師教學創造提供了空間

不確定數學知識觀,使教師認識到數學知識具有相對性、條件性、主觀性。教師在教學過程中，可以談自己對數學的理解與認識,也可以結合自己或學生的經驗來講解數學知識。這樣,教師就不再僅僅是數學知識的忠實實施者,而是數學知識的創造者,就容易實現自己、學生和數學知識真正相遇。數學課堂就變成一個開放的學習空間，每個人可以對某個數學問題發表自己的見解,師生可以圍繞着某個不確定的、有待解決的數學問題,共同探討數學真理,形成教師、學生和知識融於一體的學習共同體。數學教學也不再僅僅是教師將數學真理以“展品”的形式展現在學生的面前、控制課堂的過程，而是教師將數學知識融入自身價值觀中，促使教學與自身融為一體,這樣的數學教學才有可能是好的教學。

3.激發學生學習探究慾望

數學知識的不確定性使學生認識到世界上並不存在永恆的數學真理，不要盲信數學定理。於是,他們才有可能對數學產生懷疑,進而去探究;才會破除自己固有的僵硬思維,開拓學生的視野。學生在質疑數學、研究數學的過程中，會獲得一種自信,認為知識是可以被自己改變的。

在陳景潤讀中學的時候,沈元老師給學生講了一道困擾人們200多年的數學難題一哥德巴赫猜想，他恰當的引出數學界比喻“數學是自然科學皇后，‘哥德巴赫猜想’則是皇后王冠上的寶石”引起了陳景潤的興趣。雖然沈元老師也沒有解出這道題,但他促使陳景潤對這道題保持着好奇心，_直研究這道題,最終發表論文《大偶數表示一個素數及一個不超過2個素數的乘積之和》,引起世界轟動。因此,有時不確定性的數學知識可以激發學生探究慾望,使學生獲得自信。

三、不確定性數學知識價值的實現策略

如上所述,數學知識的不確定性具有重要的教育價值。那麼在實際教育中如何實現這些價值值得我們去研究。

(一)突出確定性知識成立的條件

強調數學知識的不確定性,並不是説在教學中不教確定性的數學知識,而是説要換一種思維去教授確定性知識。其實，任何數學知識要正確，都是有條件的。在教學過程中，教師要強調數學知識確定性成立的前提和條件。某個知識正確，只是在某個特定條件下正確；若超出了這個條件,其正確性就受到了挑戰。首先,在課堂上教師要告訴學生數學定理的成立是需要條件的。如在初中講數的平方這一規律時定要告訴學生只有在實數範圍內，一個數的平方才是正數。其次,告訴學生即使現在這些數學知識是準確的、唯一的，也不代表它就永恆不變。在教學中，可以適當增加數學史的知識,告訴學生這些知識後來引起的爭議,使學生能夠用動態的眼光看待數學知識。

(二）適當增加課程內容的不確定性

多爾（Doll,.)認為“課程應具有‘適量’的不確定性、異常性、無效性、模糊性”。《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出課程基本理念“課程內容的呈現應注意層次性和多樣性。”M因此，國家和地方在制定教材時，以及教師在教學時,要適當地多增加一些不確定性的、有爭議的、能引起學生認知衝突的數學知識^“編制課程大綱或教學計劃應該採用一種一般的、寬鬆的、多少帶有一定的不確定的方式”。M如在教學不同學段，可適當增加不等式、不定方程、負數、估算、統計與概率、無理數等不確定數學知識的比例，引導學生用“亦此亦彼”的思維模式去思考問題。國外的某些做法值得借鑑。如在我國老

師教授時（-8)+,老師告訴我們將它看作是-8的開立方，因此結果為-2。而在國外,老師認為這題有3種不同的結果3“第一種方法與我國解法是相同的，將（-8)+看作是-8的開立方，因而結果為-2。第二種將^當作是I,於是(-8)+=(-8)+=槡(-8)=^=2。第三種觀點認為（-8)^是説不清的，因為每個人可以有自己不同的解法”。這樣,學生在計算負數的指數時,答案是不確定的。

(三）注重數學教學的開放性

開放性教學在教學中發揮着重要的作甩“開放性教學是為學生提供一個發現和創新的環境和機會,為教師提供一個培養學生解題能力、自控能力和應用數學知識能力的有效途徑。”19因此，教師的教學應具有開放性。這裏的開放性,首先是指教師在教授數學時,不一定非得將結論教給學生;其次,要注重選擇一些沒有確定答案的數學內容;再次,要選擇一些條件並不是十分明朗的數學問題讓學生思考;最後，還可以創造一些只有部分條件的問題，讓學生補充相關條件,並提出問題。如小學低年級可以設計這樣的題型:羊圈裏有8只羊?這樣每個學生補充的條件不同，最終得出的結果也就不一樣。同時,教師可以自己結合生活經驗進行教學，重視數學經驗在教學中的作用，培養學生直覺思維和求異思維能力。如在課堂上讓小學生設計如何測量土豆的體積,不同學生有不同測量方法，一個學生也可以有多種方法；讓學生自己描述回家路線圖，這樣題目就與學生實際生活聯繫，且每個人回家路線的不同,得到的答案必然不同。

(四）注重評價方式個性化

既然數學知識具有不確定性,那麼對學生的評價就不能侷限於統一的標準。要在評價中突出學生的主體地位,注重學生數學學習的個別差異性“新評定走出了甄別的誤區，評定尊重學生的個別差異和個性特點，問題要求具有相當的開放性,允許學生依據自己的興趣和特長作出不同形式和內容的解答。”M只有根據每個學生實際情況進行評價,才能夠發現每個學生數學學習的差異性,才能夠因材施教,也才能引導學生對數學充滿懷疑,才有利於學生髮散思維的形成與發展。

《素質教育在美國》一書中作者講到在一次數學對數測試中，美國一個學生礦礦在考試時,在對數這一題上畫了一隻咬原木的河狸,手中拿着一塊木頭（在英語中Log除了表示對數,還可以表示原木），並寫上“Logsarefun!”(木頭真有趣味）。礦礦試卷本身得了100分,老師又給試卷上的畫“原木和河狸”加了0.2分,這0.2分表明老師對礦礦數理邏輯、形象思維和自信心的充分肯定。這位教師把學生當作獨特的個體,這種評價更具有指導性作用，激勵學生“探究”數學而不是“學習”數學。