數學教學隨筆:交換思想碰撞智慧

蘇教版《數學》第十冊“分數的基本性質”單元有這樣一道思考題：“寫出一個比1/5大又比1/4小的分數，並在小組裏説説是怎樣找到這個分數的。你還能找出這樣的分數嗎？”當時，筆者的做法是：給足時間，讓學生在週末思考，並寫成數學日記，下週一再回到課堂上講解。部分學生寫在數學日記裏的思考方法如下──

冉某： 先找出4和5的公倍數有20，40，60，80……然後將1/5和1/4分別轉化成4/20，5/20；8/40，10/40；12/60，15/60；16/80，20/80……最後找出比1/5大又比1/4小的分數有：9/40；13/60，14/60；17/80，18/80，19/80……

李某： 先分別把1/5和1/4轉化成小數：0.2和0.25，只要找出比0.2大又比0.25小的.分數就行了。還真不少：兩位的、三位的、四位的……有無數個啊！叭如，在0.2和0.25之間的兩位小數：0.21，0.22，0.23……又分別把它們化成分數是：21/100，22/100(11/50)， 23/100……所以就可以推出，比1/5大又比1/4小的分數有：21/100，22/100(11/50)，23/100……

週一課堂講解後，學生鄒某又交了另一篇數學日記：

其實，這道思考題不算難，可老師今天要我們想出不同的方法，還真有點為難我這個”數學高手“（同學們給的美稱）。”除了課堂上同學們的方法──用分數的基本性質解決，用化小數的方法解決，還有其他方法嗎？“我一番思索，突然想到了”假設“：先假設這個未知分數的分子和1/5、1/4的分子相等（都是1），那麼它的分母就一定要比5小而比4大。這樣，分母就不是整數，而是小數。比如，分母是4.1時，這個分數就是1/4.1，但理論上沒有這種分數，我便把它們的分子和分母同時擴大10倍，成為10/41。4和5之間的小數有無數個，所以，可以用這種方法推出在1/5和1/4之間的分數也有無數個。於是，我列出了其中一個算式：

1/5＜1/4.1＜1/4，1/4.1=10/41，1/5＜10/41＜1/4。

課後，筆者整理學生們的數學日記，想試着給他們發表。寫着寫着，學生們的方法，尤其是鄒某的”根據假設的結果倒推“的方法給我很大啟發：這道題還可以這樣做──

根據分數的基本性質，把1/5和1/4的分子轉化成一樣──分子是2，3，4……可以找出在1/5和1/4之間的分數有無數個：1/5=2/10=3/15=4/20=……1/4=2/8=3/12=4/16=……

在2/10和2/8之間的分數有：2/9；在3/15和3/12之間的分數有：3/14，3/13；在4/20和4/16之間的分數有：4/19，4/18，4/17；……從而可以推出比1/5大又比1/4小的分數有：2/9，3/14，3/13，4/19，4/18，4/17……

當我把學生給我啟發後的這種做法又啟發學生學習時，學生們十分欣喜。