關於單調性與最大最小值檢測試題

1．函數f(x)＝x2在[0,1]上的最小值是( )

A．1 B．0

C.14 D．不存在

解析：選B.由函數f(x)＝x2在[0,1]上的圖象(圖略)知，

f(x)＝x2在[0,1]上單調遞增，故最小值為f(0)＝0.

2．函數f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]x＋7，x∈[－1，1]，則f(x)的最大值、最小值分別為( )

A．10,6 B．10,8

C．8,6 D．以上都不對

解析：選A.f(x)在x∈[－1,2]上為增函數，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6.

3．函數y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值為( )

A．1 B．2

C．－1 D．不存在

解析：選A.因為函數y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.對稱軸為x＝1，開口向下，故在[1,2]上為單調遞減函數，所以ymax＝－1＋2＝1.

4．函數y＝1x－1在[2,3]上的最小值為( )

A．2 B.12

C.13 D．－12

解析：選B.函數y＝1x－1在[2,3]上為減函數，

∴ymin＝13－1＝12.

5．某公司在甲乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中銷售量(單位：輛)．若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為( )

A．90萬元 B．60萬元

C．120萬元 D．120.25萬元

解析：選C.設公司在甲地銷售x輛(0≤x≤15，x為正整數)，則在乙地銷售(15－x)輛，∴公司獲得利潤L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.∴當x＝9或10時，L最大為120萬元，故選C.

6．已知函數f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為( )

A．－1 B．0

C．1 D．2

解析：選C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.

∴函數f(x)圖象的對稱軸為x＝2，

∴f(x)在[0,1]上單調遞增．

又∵f(x)min＝－2，

∴f(0)＝－2，即a＝－2.

f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

7．函數y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．

解析：∵x∈N*，∴x2≥1，

∴y＝2x2＋2≥4，

即y＝2x2＋2在x∈N*上的最小值為4，此時x＝1.

答案：4

8．已知函數f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，並且f(x)的最小值為f(a)，則實數a的取值範圍是________．

解析：由題意知f(x)在[1，a]上是單調遞減的，

又∵f(x)的單調減區間為(－∞，3]，

∴1<a≤3.

答案：(1,3]

9．函數f(x)＝xx＋2在區間[2,4]上的最大值為________；最小值為________．

解析：∵f(x)＝xx＋2＝x＋2－2x＋2＝1－2x＋2，

∴函數f(x)在[2,4]上是增函數，

∴f(x)min＝f(2)＝22＋2＝12，

f(x)max＝f(4)＝44＋2＝23.

答案：23 12

10．已知函數f(x)＝x2 －12≤x≤11x 1＜x≤2，

求f(x)的最大、最小值．

解：當－12≤x≤1時，由f(x)＝x2，得f(x)最大值為f(1)＝1，最小值為f(0)＝0；

當1＜x≤2時，由f(x)＝1x，得f(2)≤f(x)＜f(1)，

即12≤f(x)＜1.

綜上f(x)max＝1，f(x)min＝0.

11．某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元．

(1)當每輛車的月租金為3600元時，能租出多少輛車？

(2)當每輛車的月租金為多少元時，租賃公司的'月收益最大？最大月收益是多少？

解：(1)當每輛車的月租金為3600元時，未租出的車輛數為3600－300050＝12.所以這時租出了88輛車．

(2)設每輛車的月租金為x元．則租賃公司的月收益為f(x)＝(100－x－300050)(x－150)－x－300050×50，

整理得

f(x)＝－x250＋162x－21000＝－150(x－4050)2＋307050.

所以，當x＝4050時，f(x)最大，最大值為f(4050)＝307050.即當每輛車的月租金為4050元時，租賃公司的月收益最大．最大月收益為307050元．

12．求f(x)＝x2－2ax－1在區間[0,2]上的最大值和最小值．

解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，對稱軸為x＝a.

①當a＜0時，由圖①可知，

f(x)min＝f(0)＝－1，

f(x)max＝f(2)＝3－4a.

②當0≤a＜1時，由圖②可知，

f(x)min＝f(a)＝－1－a2，

f(x)max＝f(2)＝3－4a.

③當1≤a≤2時，由圖③可知，

f(x)min＝f(a)＝－1－a2，

f(x)max＝f(0)＝－1.

④當a＞2時，由圖④可知，

f(x)min＝f(2)＝3－4a，

f(x)max＝f(0)＝－1.

綜上所述，當a＜0時，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；

當0≤a＜1時，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；

當1≤a≤2時，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；

當a＞2時，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.