七年級奧賽綜合訓練題

一、選擇題

1．如果a,b均為有理數，且b<0，則a, a–b , a+b振奮小關係是（     ）

A．a < a+b < a–b;     B. a < a–b < a+b

C. a + b < a < a–b ;  D. a–b < a +b < a

2．如果3a7xby 7與 ya2 4yb2x是同類項，那麼x,y的值是（     ）

A．  x  3 x  2 x 2 x 3;  B． ;  C． ;  D．  y 2y 3y  3y  2

3．如果兩條平行線被第三條直線所截，那麼一組同位角的角平分線的關係是（    ）

A．互相垂直;  B．互相平行;  C．相交但不垂直;  D．不能確定

4．若 –2 < a < -1 , - 1 < b < 0，則 M = a + b的取值範圍是（    ）

A．M = - 2 ;  B．M < - 3;  C. – 3 < M < - 2;  D. – 3 < M < - 1

5．若x2=4, y2=9，則(x – y )2的值是（    ）

A． 25;  B． 1;  C． 25或1;  D． 25或36

6．下列命題中錯誤的是（    ）

A．零不能做除數;  B．零沒有倒數;  C．零沒有相反數;  D．零除以任何非零數都是零

7．若a + b < 0 ，則化簡 |a + b – 1 | - |3 – a – b |的結果（    ）

A．-2 ;  B．2(a + b) – 4 ;  C.2;  D.- 4

8．對於任一個正整數k，下列四個數中，哪個數一定不是完全平方數（    ）

A．16k;  B. 16k + 8;  C. 4k + 1;  D. 32k + 4

二、填空題

1．當x = ____________時，x(x + 1) = 12成立。

2．已知(x 1)2 |n 2| 0,那麼代數式3xn x2n 1 (x3 xn 3)的值等於_________。

3．一個數的整數部分是a，小數部分是b，則其相反數的.整數部分是________，小數部分是________。

4．已知d – a < c – b < 0, d – b = c – a ，那麼a,b,c,d之間的關係________（用<號連接）。

5．1+2+3+…+1993+1994+1993+…+3+2+1等於________的平方。 6．304的所有不同的正約數共有_________個。

7．長方體的長、寬、高分別為a,b,c，則這個長方體的稜長總和為__________，表面積_________。

8．若 |a + b | = |a – b |,則ab=____________。 三、解答題

1．已知a,b,c為有理數，且滿足a2 b2 c2 1,a( ) b( ) c( )  3, 求a + b + c的值。

2．如圖，將面積為a2的小正方形和麪積為b2的大長方形放在一起(a > 0, b > 0),求三角形ABC的面積。

3．一輪船從一號橋逆水開往二號橋，開過二號橋20分鐘以後到達A處，發現在二號橋處失落一根圓木，船即返回追圓木，已知兩橋相距2千米，結果在一號橋追上圓木，求水流速度。

1

313

1b1c1c1a1a1b

詳解

一、選擇題

1．C

∵b < 0 ∴- b > 0  ∴a – b > a > a + b.

2. B

∵3a7xby 7與 ya2 4yb2x是同類項，∴依據同類項的定義：有7x = 2 – 4y且y + 7 = 2x.  7x 2 4y x 2即   解得： ∴選B y 7 2xy  3,

3．B

4．D

∵- 2 < a < - 1, - 1 < b < 0  由不等式的性質可知：- 3 < a + b < - 1即 – 3 < m < - 1.

5．C

∵x 4 ∴x = 2或x = - 2 .∵y2 9∴y = 3或y = - 3 .

當x = 2, y = 3, (x – y )=1;當x = - 2, y = - 3, (x – y )=1;

當x = 2, y = - 3, (x – y )=25;當x = - 2, y = 3, (x – y )=25;∴選C

6．C

零的相反數是零。

7．A

a + b < 0,則a + b – 1 < 0,∴|a + b - 1| = 1 – (a + b )

3 – (a + b ) > 0 , ∴|3 – (a + b )| = 3 – (a + b )

∴原式= 1 – (a + b ) – 3 + (a + b ) = -2

8. B

當k = 1時，16k = 16是完全平方數；當k = 2時，4k + 1= 9是完全平方數；

當k = 1時，32k + 4= 36是完全平方數；∴只有16k + 8滿足條件。

二、填空題

1．-4或3   x = 3以及x = -4時，都有x (x + 1) = 12.

2. 5

∵(x 1)2 0,|n 2| 0,而(x 1)2 0,|n 2| 0, x 1 0且n 2 0.

∴x=1且n=2.∴原式=3 1 22222212 2 1111 1 (13  1 3) 3  1  3 5 3333

3．-a, -b  設這個數為N，則N=a+b，∴-N= -(a+b)= -a + (-b)

4．d<c<b<a

d – a<0, ∴d<a, c–b < 0, ∴c < b

且∵d–a < c–b ……① d–b = c–a, ∴ d + a = c+b ……②

①+②  ∴2d < 2c, ∴ d < c ① - ② ∴ a > b

綜合上有：d<c<b<a

5．1994

原式=2×(1 + 2 + 3 + … + 1992 + 1993) + 1994 = 1993 × 1994 + 1994 = 1994

6．125

- 3 - 2

由304 24 34 54,約數個數為(1 + 4)(1 + 4)(1 + 4) = 125.

7．4(a + b + c), 2 (ab + bc +ac)

則這個長方體的稜長總和：4(a+b+c),

其表面積為：2(ab+bc+ac)

8．0

∵|a + b| = |a – b|,由絕對值的定義可知：

有a + b = a – b 或a + b = - (a – b )

即：b = 0或a = 0.

總有：ab=0.

三、解答題

1． 111111abc ) c( )    bcacababc

a b ca b ca b c  = bca

111=(a b c)(  ) bca

ac ab bc) 0 =(a b c)(abc∵a( ) b(

∵a,b,c均非零，∴abc≠0

∴（a+b+c）(ac+ab+bc)=0

當ac+ab+bc=0時

由(a b c)2 a2 b2 c2 2(ac ab bs) 1

∴a + b + c = 1或 – 1,或0

∴綜上所述，a+b+c=1或a+b+c=-1或a+b+c=0。

2．由題圖可知：

S ADC

S ADB11DC h ab 2211 DB h ab 22

∴S ABE S DEC ∴S ABC S ABE S BEC S DEC S BEC S BDC

3．設船速為V船千米/分，水速為V水千米/分。

依題意得：利用追擊問題時間相等，如圖： 12b 2

20(V船 V水)22佈列方程   20 V船 V水V船 V水V水

解之得：x = 0.05(千米/分)

答：水速度為0.05千米/分。