VanHiele思維層次對初中幾何教學的啟示論文

摘要:幾何是中學數學課程中不可或缺的重要內容,我國義務教育新課程標準強調要在數學活動中學習幾何,即“做數學”,十分注重探索圖形性質的過程。這篇文章以van Hiele思維層次理論為依據,闡述了初中學生學習幾何的思維發展過程,提出了一些促進學生入門、提升學生幾何思維發展的教學策略和手段,並附上了一節幾何課的教學設計樣例。

關鍵詞:van Hiele思維層次;幾何;五步教學法

在小學裏,學生主要依靠直覺思維來解決有關圖形的問題,進入中學後,學生開始正式的幾何學習,初步接觸到幾何邏輯證明時,往往感到困難。這其中的原因並不絕對是學生的“懶惰”或者先天智商不高,而是學生的思維發展是一個循序漸進的過程,如果學生陡然遇到超過他們的思維理解能力的教學內容,那麼他們會無法跟上。這就需要教師研究中學生的幾何思維發展過程,針對學生的具體水平設計適當的教學,引導學生一步步經歷和完成各階段的學習,從而逐漸提高學生的思維水平。

一、Van Hiele幾何思維層次

1957年,荷蘭數學教育學家Dina van Hiele-Geldof和Pierre van Hiele提出了幾何思維層次理論(Van Hiele levels)。他們將學生的幾何思維發展分為逐級升高的五個層次:

層次1:視覺期(Visual)。學生僅憑視覺整體印象來辨認基本圖形,直接將概念鏈接到門、籃球等具體模型;

層次2:描述期(Analysis)。學生能依據操作經驗認識到圖形的性質,但不理解性質之間的關係,不能區別充分和必要條件,也不能將圖形分類;

層次3:關係期(Abstract/Informal Deduction)。學生接受並能使用定義,能認識圖形之間和性質之間的邏輯關係,能作一些簡單的非正式的推理,但不能形式化地區別命題和逆命題;

層次4:推理期(Deduction)。學生不再死記硬背,確信必須經過正式的邏輯推理才能建立定理,能建構證明過程;

層次5:公理期(Rigor)。學生能夠理解幾何體系及抽象性,能夠在不同的公理系統下嚴謹地建立定理並且分析、比較這些系統。

Van Hiele認為:各層次的發展是循序漸進的,若要成功發展某一特定層次,必須先具備前一層次的概念和思維策略;思維層次的進步更依賴於教學,而非年齡的增長;沒有一種教學法能讓學生跳過某一層次而直接達到下一層次;某一層次的討論對象可變成下一層次的研究對象;每一層次都有自己獨特的語言符號及關係系統,同樣的名詞在不同層次所代表的概念可能不同。所以,最重要的是:教學必須配合學生的'思維層次。

顯然,剛從小學升入初中的學生的思維層次大多是層次1或2,這時數學教師的任務是促進學生“入門”,使學生經歷能提升其幾何思維層次的教學,做好兩個學段幾何學習的銜接。

二、促進初中生幾何思維發展的教學策略

以講授和記憶為主的、對學生的學習要求一刀切的教學不能導致有效的學習,經驗、操作、討論和反思才能幫助學生髮展思維層次。具體地説:

1.教師應評估學生的幾何思維水平,給思維層次不同的學生安排不同的學習任務和學習角色,使學生接受適合自身經驗的學習任務,並互相促進。新課程標準明確指出“教師要及時瞭解並尊重學生的個體差異,滿足多樣化的學習需要。教學中要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化,尊重學生在解決問題過程中所表現出的不同水平”。所以對於基礎很弱的學生,應該從層次1起步。如果教師盲目地將不契合學生的思維水平的學習內容提供給學生,就會造成學生聽不懂,繼而死記硬背,最後喪失學習興趣的後果。

2.教師應給學生提供探索和運用的機會,讓學生獲得在每一階段應有的學習經驗,發展對概念和性質的理解,從而逐級提高思維層次。在學習幾何概念時,應該讓學生經歷認識圖形,再分析圖形的特徵,再發現圖形之間的關係,最後作簡單的推理證明這樣一個循序漸進的過程。例如在學習矩形時,先由學生作圖,説明該圖形是矩形的理由,歸納矩形的定義,通過測量發現性質,明確矩形也是平行四邊形的一種,再反過來,用幾何畫板工具提供一個普通的凸四邊形和一個平行四邊形給學生,讓他們拖動鼠標,分別找出四邊形和平行四邊形成為矩形應具備的條件。

3.教師應該給學生提供適當的機會進行討論。在幾何學習中,語言起十分重要的作用,學生通過説、聽和讀來明晰和發現自己的觀點,從而獲得知識,所以應提供動態的教室學習環境和適合學生積極參與、討論、描述、示範的問題情境,使學生交談,分享發現,質疑,確認,形成書面表達。每一個層次都有自己的語言風格和解釋方式,對於層次1的學生要鼓勵他們用非正式語言分類、列舉和辨析,對於層次2的學生要通過問題和活動引導他們發現關係,總結定義,對於層次3的學生要鼓勵他們口頭解決問題並説出推理依據。

三、“五步教學法”促進初中生幾何思維層次發展

Van Hieles夫婦推薦在特定的幾何概念學習中使用五步教學法來提升學生的思維水平:

1.學前諮詢(Information):在教學之前,教師通過觀察與發問,瞭解學生已具備哪些知識,以作為教學準備與參考。在對話中及時引入主題、學習目標,提出問題。重點:雙向溝通。

2.引導學習方向(Guided orientation):教師佈置簡短的任務(問題或作業),使學生探究所要研究的領域,並瞭解研究的進一步方向。這些任務大都要求學生在教師的引導下,使用排列、組合、積木、摺紙、畫圖等操作方式進行探索。例如:讓學生沿對角線摺疊菱形,然後問他們有什麼發現。在這種有計劃的引導過程中,主題所包含的概念、性質和關係逐漸變得明確。重點:任務操作。

3.整合(Integration):使學生總結所學的幾何概念、知識點和方法,形成知識網絡,並在作業和其他任務中進一步理解和運用,在此過程中,學生也獲得了相關解決問題的方法的經驗。重點:總結,再運用。

例如:人教版七年級上學期“第四章4.2線段,射線,直線”中的概念教學設計:

A.導入新課(雙向溝通)

提出問題:生活中,你見過線段、射線、直線嗎?(學前諮詢)

(由學生列舉,教師板書,但不急於指明是否準確)(留下疑問)

指明學習目標(使學生明確學習目標)

1.理解和區別線段、射線、直線的概念;

2.會用符號表示線段、射線、直線;

3.理解公理“經過兩點有且只有一條直線”。

指明學習方法:(使學生作好學習準備)

作圖、討論(希望同學們踴躍發言,提出觀點和看法)

B.新課探索(任務操作)

1.請你在紙上用直尺和鉛筆分別作出你心目中的線段、射線、直線;強化視覺然後向你的同伴解釋一下哪個是線段,哪個是直線,哪個是射線。並且告訴他你根據什麼來區分三者?(描述,解釋)

2.找一對同伴到黑板作圖和解釋根據什麼區分三者。(分享,表達)

C.學習新課(口頭表達、書面表達)

(一)認識線段、射線、直線(解説)

1.線段:圖形,表示方法,實例,特點。

2.射線:圖形,表示方法,實例,特點。

3.直線:圖形,表示方法,實例,特點。

請你想一想:生活中,還有哪些物體可以近似地看作線段、射線、直線?

(發散思維)

請回頭查一查:課前提出的幾個生活中的實例是否符合這些定義?(現實生活中嚴格意義的直線較難看到)(收斂思維)

用表格歸納三者之間的聯繫及表達方式。(由學生填)(歸納,用圖表強化記憶)

觀察表格,説説有哪些值得注意的地方?(由學生説)(學習使用規範的語言)

(寫清線的名稱;直線與線段的表示方法基本相同;射線的端點必須寫在前面)

D.自由探索(運用)

1.作圖練習(自由探索,累積經驗)

(1)作直線MN,在直線MN上任取一點C;這樣的點可以取多少個?

(理解直線上有無數個點)

(2)作線段AB,先延長AB,再延長BA;線段AB與直線AB是什麼關係?

(理解線段是直線的一部分)

(3)作線段CD,再反向延長線段CD;線段CD與射線DC是什麼關係?(理解線段與射線的關係)

(4)作射線OK,再反向延長射線OK。射線OK與直線OK是什麼關係?(理解射線是直線的一部分)

板書:線段,射線都是直線的一部分。(整合“關係”)

2.作圖説話(再運用)

(1)作直線MN,在直線MN上任取兩點A,B,你在圖中找到了幾條線段?

(因為線段無方向,所以線段AB就是線段BA)

(2)作直線MN,在直線MN上任取三點A,B,C,你在圖中找到了幾條線段?

(端點不同,線段不同)

(3)在直線MN上任取四點A,B,C,D,你又在圖中找到了幾條線段?

(4)順着這個思路,你能給大家出下一問嗎?

(在直線MN上任取n個點,你能找到幾條線段?)

E.小結:線段、射線、直線的概念。(整合)

F.作業:課本132頁第4題。(再運用)

這個教學設計將一個主題的學習過程分成“操作,觀察,表達,辨析,歸納”五個流程,充分調動學生的視覺、語言表達能力,在操作、觀察、表達和交流活動中來體會、感受概念之間的關係。

van Hiele思維層次或許仍有爭議或者有其不完善的方面,但是其提倡從學生的視覺、語言表達、動手操作、探索概念間的關係、整合等多角度來完成幾何教學,使學生逐步形成概念網絡,養成“説理有據”的態度和勇於交流討論的精神,體會到探索幾何概念和性質的樂趣,這對剛入門學生幾何學習的教學指導意義是不言而喻的,希望這篇論文所提出的建議能給數學教師以參考,使幾何教學更加有趣、有效。