高一數學知識點重點總結歸納

總結就是把一個時段的學習、工作或其完成情況進行一次全面系統的總結，它可以提升我們發現問題的能力，不妨讓我們認真地完成總結吧。總結怎麼寫才不會流於形式呢？以下是小編幫大家整理的高一數學知識點重點總結歸納，歡迎大家借鑑與參考，希望對大家有所幫助。

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集合與元素

一個東西是集合還是元素並不是絕對的，很多情況下是相對的，集合是由元素組成的集合，元素是組成集合的元素。

例如：你所在的班級是一個集合，是由幾十個和你同齡的同學組成的集合，你相對於這個班級集合來説，是它的一個元素;

而整個學校又是由許許多多個班級組成的集合，你所在的班級只是其中的一分子，是一個元素。

班級相對於你是集合，相對於學校是元素，參照物不同，得到的結論也不同，可見，是集合還是元素，並不是絕對的。

解集合問題的關鍵

解集合問題的關鍵：弄清集合是由哪些元素所構成的，也就是將抽象問題具體化、形象化，將特徵性質描述法表示的集合用列舉法來表示，或用韋恩圖來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合;比如用數軸來表示集合，或是集合的元素為有序實數對時，可用平面直角座標系中的圖形表示相關的集合等。

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函數及其表示

知識點詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關係的判斷原則、函數區間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等

1. 函數與映射的區別：

2. 求函數定義域

常見的用解析式表示的函數f(x)的定義域可以歸納如下：

①當f(x)為整式時，函數的定義域為R。

②當f(x)為分式時，函數的定義域為使分式分母不為零的實數集合。

③當f(x)為偶次根式時，函數的定義域是使被開方數不小於0的實數集合。

④當f(x)為對數式時，函數的定義域是使真數為正、底數為正且不為1的實數集合。

⑤如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那麼函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合，即求各部分有意義的實數集合的交集。

⑥複合函數的定義域是複合的各基本的函數定義域的交集。

⑦對於由實際問題的背景確定的函數，其定義域除上述外，還要受實際問題的制約。

3. 求函數值域

(1)、觀察法：通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域;

(2)、配方法;如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那麼將這個函數的右邊配方，通過自變量的範圍可以求出該函數的值域;

(3)、判別式法：

(4)、數形結合法;通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域;

(5)、換元法;以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域;

(6)、利用函數的單調性;如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那麼就可以利用端點的函數值來求出值域;

(7)、利用基本不等式：對於一些特殊的分式函數、高於二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域;

(8)、最值法：對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域;

(9)、反函數法：如果函數在其定義域內存在反函數，那麼求函數的值域可以轉化為求反函數的定義域。

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函數的概念

函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A---B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A.

(1)其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域;

(2)與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.

函數的三要素：定義域、值域、對應法則

函數的表示方法：

(1)解析法：明確函數的定義域

(2)圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。

(3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特徵。

4、函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角座標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫座標，函數值y為縱座標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象。C上每一點的座標(x，y)均滿足函數關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在C上。

(2)畫法

A、描點法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對稱變換，即平移。

(3)函數圖像平移變換的特點：

1)加左減右——————只對x

2)上減下加——————只對y

3)函數y=f(x)關於X軸對稱得函數y=-f(x)

4)函數y=f(x)關於Y軸對稱得函數y=f(-x)

5)函數y=f(x)關於原點對稱得函數y=-f(-x)

6)函數y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動得

函數y=|f(x)|

7)函數y=f(x)先作x≥0的圖像，然後作關於y軸對稱的圖像得函數f(|x|)

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定義：

從平面解析幾何的角度來看，平面上的直線就是由平面直角座標系中的一個二元一次方程所表示的圖形。求兩條直線的交點，只需把這兩個二元一次方程聯立求解，當這個聯立方程組無解時，兩直線平行;有無窮多解時，兩直線重合;只有一解時，兩直線相交於一點。常用直線向上方向與X軸正向的夾角(叫直線的傾斜角)或該角的正切(稱直線的斜率)來表示平面上直線(對於X軸)的傾斜程度。可以通過斜率來判斷兩條直線是否互相平行或互相垂直，也可計算它們的交角。直線與某個座標軸的交點在該座標軸上的座標，稱為直線在該座標軸上的截距。直線在平面上的位置，由它的斜率和一個截距完全確定。在空間，兩個平面相交時，交線為一條直線。因此，在空間直角座標系中，用兩個表示平面的三元一次方程聯立，作為它們相交所得直線的方程。

表達式：

斜截式:y=kx+b

兩點式:(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)

點斜式:y-y1=k(x-x1)

截距式:(x/a)+(y/b)=0

補充一下：最基本的標準方程不要忘了,AX+BY+C=0,

因為,上面的四種直線方程不包含斜率K不存在的情況,如x=3,這條直線就不能用上面的四種形式表示,解題過程中尤其要注意,K不存在的情況。

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冪函數定義：

形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。

定義域和值域：

當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大於0的所有實數;如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等於0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。在x小於0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才進入函數的值域

性質：

對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

排除了為0與負數兩種可能，即對於x>0，則a可以是任意實數;

排除了為0這種可能，即對於x<0和x>0的所有實數，q不能是偶數;

排除了為負數這種可能，即對於x為大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。

總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實數，則函數的定義域為大於0的所有實數;

如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等於0的所有實數。

在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。

在x小於0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

而只有a為正數，0才進入函數的值域。

由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。

(2)當a大於0時，冪函數為單調遞增的，而a小於0時，冪函數為單調遞減函數。

(3)當a大於1時，冪函數圖形下凹;當a小於1大於0時，冪函數圖形上凸。

(4)當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大於0，函數過(0，0);a小於0，函數不過(0，0)點。

(6)顯然冪函數。

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（1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點

（2）兩個平面的位置關係：

兩個平面平行——沒有公共點；兩個平面相交——有一條公共直線。

a、平行

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行。

兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼交線平行。

b、相交

二面角

（1）半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

（2）二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值範圍為[0°，180°]

（3）二面角的稜：這一條直線叫做二面角的稜。

（4）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的稜上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於稜的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就説這兩個平面互相垂直。記為⊥

兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直

兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那麼在一個平面內垂直於交線的直線垂直於另一個平面。

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補關係）

稜錐

稜錐的定義：有一個面是多邊形，其餘各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做稜錐。

稜錐的性質：

（1）側稜交於一點。側面都是三角形

（2）平行於底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等於截得的稜錐的高與遠稜錐高的比的平方

正稜錐

正稜錐的定義：如果一個稜錐底面是正多邊形，並且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的稜錐叫做正稜錐。

正稜錐的性質：

（1）各側稜交於一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正稜錐的斜高。

（3）多個特殊的直角三角形

a、相鄰兩側稜互相垂直的正三稜錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

集合

集合具有某種特定性質的事物的總體。這裏的“事物”可以是人，物品，也可以是數學元素。例如：

1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：緊急～。

2、數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素：有理數的～。

3、口號等等。集合在數學概念中有好多概念，如集合論：集合是現代數學的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。康託（Cantor，G、F、P、，1845年—1918年，德國數學家先驅，是集合論的創始者，目前集合論的'基本思想已經滲透到現代數學的所有領域。

集合，在數學上是一個基礎概念。什麼叫基礎概念？基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。集合

集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區分的對象匯合在一起，使之成為一個整體（或稱為單體），這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素（或簡稱為元）。

集合與集合之間的關係

某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。

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指數函數

(1)指數函數的定義域為所有實數的集合，這裏的前提是a大於0，對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。

(2)指數函數的值域為大於0的實數集合。

(3)函數圖形都是下凹的。

(4)a大於1，則指數函數單調遞增;a小於1大於0，則為單調遞減的。

(5)可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中(當然不能等於0)，函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

(6)函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸，永不相交。

(7)函數總是通過(0，1)這點。

(8)顯然指數函數。

反比例函數

形如y=k/x(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。

自變量x的取值範圍是不等於0的一切實數。

反比例函數圖像性質：

反比例函數的圖像為雙曲線。

由於反比例函數屬於奇函數，有f(-x)=-f(x)，圖像關於原點對稱。

另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個座標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

k分別為正和負(2和-2)時的函數圖像。

當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

反比例函數圖像只能無限趨向於座標軸，無法和座標軸相交。

知識點：

1.過反比例函數圖象上任意一點作兩座標軸的垂線段，這兩條垂線段與座標軸圍成的矩形的面積為|k|。

2.對於雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數(即y=k/(x±m)m為常數)，就相當於將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數時向左平移，減一個數時向右平移)

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高一數學函數知識點歸納

1、函數：設A、B為非空集合，如果按照某個特定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域，與x相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函數的值域。

2、函數定義域的解題思路：

⑴若x處於分母位置，則分母x不能為0。

⑵偶次方根的被開方數不小於0。

⑶對數式的真數必須大於0。

⑷指數對數式的底，不得為1，且必須大於0。

⑸指數為0時，底數不得為0。

⑹如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，那麼，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。

⑺實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義。

3、相同函數

⑴表達式相同：與表示自變量和函數值的字母無關。

⑵定義域一致，對應法則一致。

4、函數值域的求法

⑴觀察法：適用於初等函數及一些簡單的由初等函數通過四則運算得到的函數。

⑵圖像法：適用於易於畫出函數圖像的函數已經分段函數。

⑶配方法：主要用於二次函數，配方成y=(x-a)2+b的形式。

⑷代換法：主要用於由已知值域的函數推測未知函數的值域。

5、函數圖像的變換

⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。

⑵伸縮變換：在x前加上係數。

⑶對稱變換：高中階段不作要求。

6、映射：設A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應，那麼就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的映射。

⑴集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是唯一的。

⑵集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個。

⑶不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

7、分段函數

⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。

⑵各部分自變量和函數值的取值範圍不同。

⑶分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集。

8、複合函數：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),則，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，稱為f、g的複合函數。

高一數學必修五知識點總結

空間兩條直線只有三種位置關係：平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類：

(1)共面：平行、相交

(2)異面：

異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線或既不平行也不相交。

異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：範圍為(0°，90°)

esp.空間向量法

兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)

esp.空間向量法

2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：

(1)有且僅有一個公共點——相交直線;(2)沒有公共點——平行或異面

高一數學直線和平面的位置關係

直線和平面只有三種位置關係：在平面內、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內——有無數個公共點

②直線和平面相交——有且只有一個公共點

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的鋭角。

空間向量法(找平面的法向量)

規定：

a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，

b、直線與平面平行或在平面內，所成的角為0°角

由此得直線和平面所成角的取值範圍為[0°，90°]

最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理:如果平面內的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也與這條斜線垂直

直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內的任意一條直線都垂直，我們就説直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。

直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直於一個平面，那麼這兩條直線平行。

③直線和平面平行——沒有公共點

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那麼我們就説這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。

(1)有且僅有一個公共點——相交直線;(2)沒有公共點——平行或異面