數學測試題含答案及數學知識點

《2.3 直線、平面垂直的判定及其性質（2）》測試題

一、選擇題

1.(2010山東)在空間中，下列命題正確的是( )．

A.平行直線的平行投影重合 B.平行於同一直線的兩個平面平行

C.垂直於同一平面的兩個平面平行 D.垂直於同一平面的兩條直線平行

考查目的：考查空間直線與平面的位置關係，直線與平面垂直、平行的判定和性質.

答案：D.

解析：選項A，平行直線的平行投影可以依然是兩條平行直線；選項B，兩個相交平面的交線與某一條直線平行，則這條直線平行於這兩個平面；選項C，兩個相交平面可以同時垂直於同一個平面；選項D正確.

2.(2012浙江文)設是直線，，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是( ).

A.若∥，∥，則∥ B.若∥，⊥，則⊥

C.若⊥，⊥，則⊥ D.若⊥，∥，則⊥

考查目的：考查直線與平面平行、垂直的判定和性質.

答案：B.

解析：利用排除法可得選項B是正確的，選項A：當∥，∥時，⊥或∥；選項C：若⊥，⊥，則∥或；選項D：若⊥，⊥，則∥或⊥.

3.(2010全國2文)已知三稜錐中，底面為邊長等於2的等邊三角形，垂直於底面，，那麼直線與平面所成角的正弦值為( ).

A. B. C. D.

考查目的：考查直線與平面、平面與平面的位置關係，會求直線與平面所成的角.

答案：D.

解析：過A作AE垂直於BC交BC於E，連結SE，過A作AF垂直於SE交SE於F，連BF，∵正三角形ABC，∴ E為BC中點，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF為直線AB與面SBC所成角，由正三角形邊長3，∴，AS=3，∴，，∴.

二、填空題

4.(2010遼寧理)如圖，網格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條稜的長為______.

考查目的：考查直線與平面垂直的判定.

答案：.

解析：由三視圖可知，此多面體是一個底面邊長為2的正方形且有一條長為2的側稜垂直於底面的四稜錐，所以最長稜長為.

5.(2010四川)如圖，二面角的大小是，線段.，與所成的角為，則與平面所成的角的正弦值是 .

考查目的：考查直線和平面所成角的概念和求法.

答案：.

解析：過點A作平面的垂線，垂足為C，在內過C作的垂線.垂足為D.連結AD，則平面，AD⊥，故∠ADC為二面角的平面角為.又由已知得，∠ABD＝，連結CB，則∠ABC為與平面所成的角.設AD＝2，則，CD＝1，，∴.

6.(2012上海理)如圖，與是四面體中互相垂直的稜，，若，且，其中，為常數，則四面體的體積的最大值是 .

考查目的：考查直線與直線、直線與平面垂直關係，會根據幾何體特點進行合理的計算.

答案：.

解析：過點A做AE⊥BC，垂足為E，連接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以.又∵，∴當時，四面體ABCD的體積最大.過E做EF⊥DA，垂足為點F，已知EA=ED，∴△ADE為等腰三角形，∴點E為AD的中點.又∵，∴，∴，∴四面體ABCD體積的最大值.

三、解答題

7.(2011天津改編)如圖，在四稜錐中，底面為平行四邊形，，，O為AC中點，⊥平面，PO=2，M為PD中點，求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.

考查目的：考查直線和平面所成角的概念及其求法.

答案：.

解析：取DO中點N，連接MN，AN.∵M為PD的中點，∴MN∥PO，且.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴是直線AM與平面ABCD所成的角.在中，，，∴，∴．在中，．即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為．

8.(2010遼寧文)如圖，稜柱的側面是菱形，.

⑴證明：平面平面；

⑵設是上的點，且平面，求的值.

考查目的：考查空間直線、平面之間的平行、垂直關係的證明，以及二面角的求法.

答案：C.

解析：⑴∵側面是菱形，∴.又∵，且，∴平面.∵平面，∴平面平面.

⑵設交於點E，連結DE，則DE是平面與平面的交線. ∵∥平面，∴.又∵E是的中點，∴以D為的'中點，∴.

高一數學女生如何學好？

【讀者按】隨着數學內容的逐步深化，部分女生數學能力逐漸下降，導致越學越用功，卻越學越吃力，甚至部分女生出現了嚴重偏科的現象。因此，對高中女生數學能力的培養應引起重視。

一、“棄重求輕”，培養興趣

女生數學能力的下降，環境因素及心理因素不容忽視。目前社會、家庭、學校對學生的期望值普遍過高。而女生性格較為文靜、內向，心理承受能力較差，加上數學學科難度大，因此導致她們的數學學習興趣淡化，能力下降。因此，教師要多關心女生的思想和學習，經常同她們平等交談，瞭解其思想上、學習上存在的問題，幫助其分析原因，制定學習計劃，清除緊張心理，鼓勵她們“敢問”、“會問”，激發其學習興趣。同時，要求家長能以積極態度對待女生的數學學習，要多鼓勵少指責，幫助她們棄掉沉重的思想包袱，輕鬆愉快地投入到數學學習中；還可以結合女性成才的事例和現實生活中的實例，幫助她們樹立學好數學的信心。事實上，女生的情感平穩度比較高，只要她們感興趣，就會克服困難，努力達到提高數學能力的目的。

二、“開門造車”，注重方法

在學習方法方面，女生比較注重基礎，學習較紮實，喜歡做基礎題，但解綜合題的能力較差，更不願解難題；女生上課記筆記，複習時喜歡看課本和筆記，但忽視上課聽講和能力訓練；女生注重條理化和規範化，按部就班，但適應性和創新意識較差。因此，教師要指導女生“開門造車”，讓她們暴露學習中的問題，有針對地指導聽課，強化雙基訓練，對綜合能力要求較高的問題，指導她們學會利用等價轉換、類比、化歸等數學思想，將問題轉化為若干基礎問題，還可以組織她們學習他人成功的經驗，改進學習方法，逐步提高能力。

三、“笨鳥先飛”，強化預習

女生受生理、心理等因素影響，對知識的理解、應用能力相對要差一些，對問題的反應速度也慢一些。因此，要提高課堂學習過程中的數學能力，課前的預習至關重要。教學中，要有針對性地指導女生課前的預習，可以編制預習提綱，對抽象的概念、邏輯性較強的推理、空間想象能力及數形結合能力要求較高的內容，要求通過預習有一定的瞭解，便於聽課時有的放矢，易於突破難點。認真預習，還可以改變心理狀態，變被動學習為主動參與。因此，要求女生強化課前預習，“笨鳥先飛”。

技巧：考前三天做好六件事

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試頻道

高一數學集合知識點總結

【讀者按】高一數學集合知識點總結：集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件……

一.知識歸納：

1.集合的有關概念。

1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類：有限集，無限集，空集。

4)常用數集：N，Z，Q，R，N*

2.子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念。

1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB);

2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且)

3)交集：A∩B={xx∈A且x∈B}

4)並集：A∪B={xx∈A或x∈B}

5)補集：CUA={xxA但x∈U}

注意：①?A，若A≠?，則?A;

②若，，則;

③若且，則A=B(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關係，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。

4.有關子集的幾個等價關係

①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、並集運算的性質

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

6.有限子集的個數：設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

二.例題講解：

【例1】已知集合M={xx=m+,m∈Z},N={xx=,n∈Z},P={xx=,p∈Z}，則M,N,P滿足關係

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：從判斷元素的共性與區別入手。

解答一：對於集合M：{xx=,m∈Z};對於集合N：{xx=,n∈Z}

對於集合P：{xx=,p∈Z}，由於3(n-1)+1和3p+1都表示被3除餘1的數，而6m+1表示被6除餘1的數，所以MN=P，故選B。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，這時不要急於判斷三個集合間的關係，應分析各集合中不同的元素。

=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以選B。

點評：由於思路二隻是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設集合，，則(B)

A.M=.

解：

當時，2k+1是奇數，k+2是整數，選B

專題推薦：

三角函數知識點公式定理記憶口訣

三角函數是函數，象限符號座標注。函數圖象單位圓，週期奇偶增減現。

同角關係很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割；

中心記上數字1，連結頂點三角形；向下三角平方和，倒數關係是對角，

頂點任意一函數，等於後面兩根除。誘導公式就是好，負化正後大化小，

變成税角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數倍，奇數化餘偶不變，

將其後者視鋭角，符號原來函數判。兩角和的餘弦值，化為單角好求值，

餘弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互餘角度變名稱。

計算證明角先行，注意結構函數名，保持基本量不變，繁難向着簡易變。

逆反原則作指導，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。

萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用；

1加餘弦想餘弦，1減餘弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為範；

三角函數反函數，實質就是求角度，先求三角函數值，再判角取值範圍；

利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集。

高中數學公式（三角形面積公式）_高中數學公式

除了課堂上的學習外，平時的積累與練習也是學生提高成績的重要途徑，本文為大家提供了高中數學公式（三角形面積公式），祝大家閲讀愉快。

由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。 平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形。 三條直線所圍成的圖形叫平面三角形;三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。

面積公式：

(1)S=ah/2

(2).已知三角形三邊a,b,c，則 (海倫公式)(p=(a+b+c)/2)

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C，則S=1/2 * absinC

(4).設三角形三邊分別為a、b、c，內切圓半徑為r

S=(a+b+c)r/2

(5).設三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R

S=abc/4R

(6).根據三角函數求面積：

S= absinC/2 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注:其中R為外切圓半徑。

本文就是為大家整理的高中數學公式（三角形面積公式），希望能為大家的學習帶來幫助，不斷進步，取得優異的成績。

高中新課程複習訓練題數學（數列1）

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）

1．已知表示數列前k項和，且+=（），那麼此數列是（ ）

A．遞增數列 B．遞減數列 C．常數列 D．擺動數列

2.在等比數列中，，，則的前4項和為（ ）

A．81 B．120 C．168 D．192

3．已知等差數列的公差為2，若、、成等比數列，則等於（ ）

A．－4 B．－6 C．－8 D．－10

4．已知數列，則數列中最大的項為（ ）

A．12 B．13 C．12或13 D．不存在

5．若等比數列的前n項和為，且（ ）

A． B． C． D．

6．已知等差數列，且則等於（ ）

A．-12 B．6 C．0 D．24

7．在等比數列中Tn表示前n項的積，若T5 =1，則（ ）

A． B． C． D．

8．設Sn是等差數列的前n項和，且 ，則下列結論錯誤的是（ ）

A．d<0 B． C． D．S6和S7均為Sn的最大值

9．若數列滿足是首項為1，公比為2的等比數列，則等於（ ）。

A． B． C． D．

10．由=1，給出的數列的第34項為（ ）

A． B．100 C． D．

11．等比數列的公比為，前n項和為Sn，，如S2，成等比數列，則其公比為（ ）

A． B． C． D．

12．有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，已知最底層正方體的稜長為1，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）為，則該塔形中正方體的個數為（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）

13．若數列是等差數列，前n項和為Sn，=

14．關於數列有下面四個判斷：

①若a、b、c、d成等比數列，則a+b、b+c、c+d也成等比數列；

②若數列既是等差數列，也是等比數列，則為常數列；

③若數列的前n次和為S，且S= an -1，（a），則為等差或等比數列；

④數列為等差數列，且公差不為零，則數列中不含有a=a（m≠n）。

其中正確判斷序號是 。

15．已知等差數列的前n項和Sn，若m>1,則m等於 。

16．已知數列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+……+（n-1）an-1（n≥2），則{an}的通項是

三、解答題（本題共6小題，共74分）

17．（本小題滿分12分）等比數列共有偶數項，且所有項之和是奇數項之和的3倍，前3項之積等於27，求這個等比數列的通項公式。

18．（本小題滿分12分）已知數列的首項為=3，通項與前n項和之間滿足2=?（n≥2）。

(1)求證：是等差數列，並求公差；

(2)求數列的通項公式。

19．（本小題滿分12分）若數列滿足前n項之和，求：（1）bn (2) 的前n項和Tn。

20．（本小題滿分12分）已知數列中，a1=，以an-1，an為係數的二次方程：an－1x2－anx+1=0都有實根、，且滿足3－+3=1。

①求證：｛a－｝是等比數列；

②求的通項。

21．（本小題滿分12分）已知等差數列滿足

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）把數列的第1項、第4項、第7項、……、第3n－2項、……分別作為數列的第1項、第2項、第3項、……、第n項、……，求數列的所有項之和；（理科做，文科不做）

（Ⅲ）設數列的通項為，試比較與2n (n+2) Cn+1的大小。

22．（本小題滿分14分）已知數列中，是公比為（）的等比數列，又設。

(Ⅰ)求數列的通項及前n項和Sn；

(Ⅱ)假設對任意n>1都有Sn>bn,求r 的取值範圍。

南昌市單元測試卷數學（數列1）參考答案

一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

B

C

A

D

B

C

B

C

A

C

二、填空題：

13．1 14．(2),(4) 15．10 16．

三、解答題

17．解： S=3 S奇S奇+qS奇=3S奇 q=2

又（aq）3=27 ∴aq=3 a1= ∴an=?2n-1=3?2n-2

18．解： (1)2（）=

∴是等差數列，且公差為－

(2)

當n=1時，a1=3

當n≥2時，an=S－Sn-1=

19．解：①當n=1時，=

當時， 即

又 ∴ ∴

兩式相減得

20．解：①∵3（+）－=1 ∴

3 a=an-1+1 an－=(an-1－)

∴｛a－｝是等比數列

②a－=?()n-1=()n ∴a=()n+

21．解：（Ⅰ）{an}為等差數列，，又且

求得， 公差

∴ ∴{}是首項為2，公比為的等比數列

∴{}的所有項的和為

其中

22．解：（Ⅰ）∵是公比為的等比數列，∴

∴ 分別是首項為與，公比均為的等比數列

對任意的，當時， ∴，

當時， ∴， ∴

故當時，均有 ∴當時 ∵

則

因此，對任意，使的取值範圍是

高中數學學習：得分全對才是重點

本文題目：高中數學學習：得分全對才是重點

利用模擬考試查缺補漏

問：衝刺階段如何快速進步?

答：首先要通過模擬考試中出現的問題及時對基礎知識進行查缺補漏。其中以函數與導數、數列、概率、不等式、三角與向量、立體幾何和解析幾何這七大主幹知識中自己較熟悉的為主，自己感覺比較薄弱的內容以基礎題為輔。其次可以以“錯”糾錯，從做錯的題中尋找自己的弱點和不足。第三要學會“舉一反三”，及時歸納，練習用多種方法解一道題。

深入理解概念整體把握基礎

問：在最後複習階段應該以做題為主嗎?

答：對基礎知識的複習不能僅僅以做題為主，要深入理解數學概念，對數學公式、法則、定理、定律儘量弄清其來龍去脈，掌握它們的推導過程、使用範圍、使用方法，熟練運用它們進行推理、證明和運算。對高考熱點要學會自己系統整理、歸納，溝通知識間的內在聯繫，形成縱向、橫向知識鏈，構造知識網絡，從整體上把握基礎知識。

用常規方法答新題

問：在考試中遇到新穎題型如何處理?

答：每年的高考試題中都有幾道創新題目，比如，多維的、非常規的知識綜合，大跨度的知識遷移，遠距離的知識交匯，某些題目還在背景、方法上實現遷移。但是，這類題不會多，解題方法也是平時應用的一些常規方法，重點考查通性通法，淡化特殊技巧，考生只要認真分析，就會找到突破口。

模仿範例落筆得分

問：為什麼我答題時覺得自己挺會的，但成績一出來，總是得不了高分?

答：做到會題全對是高考取勝的關鍵，對於這一點在平時練習時就要做到：

第一、模仿範例，規範答題過程。通過研讀歷年高考評分細則或教材中例題的解答過程，對什麼必須答，什麼可以省略做到心中有數，然後在平時練習中注意步驟的書寫。