y=arctanx的導數是什麼?

反函數求導法則

如果函數x=f(y)x=f(y)在區間IyIy內單調、可導且f′(y)≠0f′(y)≠0，那麼它的反函數y=f1(x)y=f1(x)在區間Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}內也可導，且

[f1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

這個結論可以簡單表達為：反函數的.導數等於直接函數導數的倒數。

例：設x=siny，y∈[π2,π2]x=siny，y∈[π2,π2]為直接導數，則y=arcsinxy=arcsinx是它的反函數，求反函數的導數.

解：函數x=sinyx=siny在區間內單調可導，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cosy≠0

因此，由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′

(arcsinx)′=1(siny)′

=1cosy=11sin2y√=11x2√

=1cosy=11sin2y=11x2