行階梯形矩陣方法總結

行階梯形矩陣方法總結在線性代數的學習中,利用矩陣的初等行變換,把一 個矩陣化為行階梯形矩陣,是一種很重要的運算。以下是小編整理的行階梯形矩陣方法總結，歡迎閲讀和收藏。

行階梯形矩陣，Row—Echelon Form，是指線性代數中的矩陣。

階梯形矩陣

如果：

所有非零行（矩陣的行至少有一個非零元素）在所有全零行的上面。即全零行都在矩陣的底部。

非零行的首項係數（leading coefficient），也稱作主元， 即最左邊的首個非零元素（某些地方要求首項係數必須為1），嚴格地比上面行的首項係數更靠右。

首項係數所在列，在該首項係數下面的元素都是零 （前兩條的推論）。

這個矩陣是行階梯形矩陣：

化簡後的行階梯形矩陣（reduced row echelon form）， 也稱作行規範形矩陣（row canonical form），如果滿足額外的條件：

每個首項係數是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如：

注意，這並不意味着化簡後的'行階梯形矩陣的左部總是單位陣。 例如，如下的矩陣是化簡後的行階梯形矩陣：

因為第3列並不包含任何行的首項係數。

矩陣變換到行階梯形

通過有限步的行初等變換， 任何矩陣可以變換為行階梯形。由於行初等變換保持了矩陣的行空間， 因此行階梯形矩陣的行空間與變換前的原矩陣的行空間相同。

行階梯形的結果並不是唯一的。例如，行階梯形乘以一個純量係數仍然是行階梯形。但是，可以證明一個矩陣的化簡後的行階梯形是唯一的。

一個線性方程組是行階梯形，如果其增廣矩陣是行階梯形。 類似的，一個線性方程組是簡化後的行階梯形或規範形，如果其增廣矩陣是化簡後的行階梯形。