高一上冊數學第三章單元測試題

一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1.已知x，y為正實數，則()

A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx2lgy

C.2lgxlgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx2lgy

解析 取特殊值即可.如取x=10，y=1,2lgx+lgy=2,2lg(xy)=2,2lgx+2lgy=3,2lg(x+y)=2lg11,2lgxlgy=1.

答案 D

2.若函數y=f(x)是函數y=ax(a0，a1)的反函數且f(2)=1，則f(x)=()

A.12x B.2x-2

12 x 2x

解析 由題意知f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，

a=2，f(x)=log2x.

答案 D

3.已知f(x)=log3x，則函數y=f(x+1)在區間[2,8]上的最大值與最小值分別為()

A.2與1 B.3與1

C.9與3 D.8與3

解析 由f(x)=log3x，知f(x+1)=log3(x+1)，

又28，39.

故1log3(x+1)2.

答案 A

4.下列説法正確的是()

0.56log0.54 B.90.9270.48

C.2.50122.5 log0.60.5

解析 ∵90.9=32.7,270.48=31.44，又y=3x在(-，+)上單調遞增，32.731.44.

答案 B

5.設函數f(x)=logax(a0，a1).若f(x1x2x2014)=8，則f(x21)+f(x22)++f(x22014)的值等於()

A.4 B.8

C.16 D.2loga8

解析 f(x21)+f(x22)++f(x22014)

=logax21+logax22++logax22014

=loga(x1x2x2014)2

=2loga(x1x2x2014)=28=16.

答案 C

6.(log43+log83)(log32+log98)等於()

A.56 B.2512

C.94 D.以上都不對

解析 (log43+log83)(log32+log98)

=12log23+13log23log32+32log32

=2512.

答案 B

7.若f(x)=log2x的值域為[-1,1]，則函數f(x)的定義域為()

A.12，1 B.[1,2]

C.12，2 D.22，2

解析 由-1log2x1，得122.

答案 C

8.函數f(x)的圖像向右平移1個單位長度，所得圖像與曲線y=ex關於y軸對稱，則f(x)=()

+1 -1

C.e-x+1 D.e-x-1

解析 與曲線y=ex關於y軸對稱的`曲線為y=e-x，函數y=e-x的圖像向左平移一個單位長度即可得到函數f(x)的圖像，即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.

答案 D

9.若f(x)=2x+2-xlga是奇函數，則實數a=()

A.13 B.14

C.12 D.110

解析 ∵f(x)是定義域為R的奇函數，

f(0)=0，20+20lg a=0，

lg a=-1，a=110.

答案 D

10.某地區植被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃，0.4 萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數y公頃關於年數x的函數關係較為近似的是()

A.y=0.2x B.y=110(x2+2x)

C.y=2x10 D.y=0.2+log16x

解析 逐個檢驗.

答案 C

二、填空題(本大題共5小題，每題5分，共25分.將答案填在題中橫線上.)

11.函數y=ax-2+1(a0，且a1)的圖像必經過點________.

答案 (2,2)

12.函數y=lg4-xx-3的定義域是________.

解析 由4-x0，x-30，得x4，x3，

定義域為{x|x3或3

答案 {x|x3或3

13.函數f(x)=x2+12 x0，ex-1 x0，若f(1)+f(a)=2，則a=________.

答案 1或-22

14.y=log0.3(x2-2x)的單調減區間為________.

解析 寫單調區間注意函數的定義域.

答案 (2，+)

15.若函數f(x)=ax，x1，4-a2x+2，x1為R上的增函數，則實數a的取值範圍是________.

解析 由題意得a1，4-a20，a4-a2+2，得48.

答案 [4,8)

三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.)

16.(12分)計算下列各式

(1)(lg2)2+lg2lg50+lg25;

(2)2790.5+21027 13 -2

(3)(lg5)2+lg2lg5+lg20-4-426125+21+ 12 log25.

解 (1)(lg2)2+lg2lg50+lg25

=(lg2)2+lg2(lg2+2lg5)+2lg5

=2(lg2)2+2lg2lg5+2lg5

=2lg2(lg2+lg5)+2lg5=2.

(2)原式=259 12 +6427 13 -2

=53+43-2=3-2=1.

(3)原式=lg5(lg5+lg2)+lg20-25+25

=lg5+lg2+1=2.

17.(12分)已知函數f(x)=loga(1+x)，g(x)=loga(1-x)，其中a0，a1，設h(x)=f(x)-g(x).

(1)判斷h(x)的奇偶性，並説明理由;

(2)若f(3)=2，求使h(x)0成立的x的集合.

解 (1)依題意，得1+x0，1-x0，解得-1

函數h(x)的定義域為(-1,1).

∵對任意的x(-1,1)，-x(-1,1)，

h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=g(x)-f(x)=-h(x)，

h(x)是奇函數.

(2)由f(3)=2，得a=2.

此時h(x)=log2(1+x)-log2(1-x)，

由h(x)0，即log2(1+x)-log2(1-x)0，

得log2(1+x)log2(1-x).

則1+x0，解得0

故使h(x)0成立的x的集合是{x|0

18.(12分)已知0

解 由題意得16a2，6a22-22+30，得a112，a124，

得124

故a的取值範圍是124

19.(12分)已知f(x)=loglog14xx2-log14 x+5，A={x|2x2-6x+81}，當xA時，求f(x)的最值.

解 由2x2-6x+81

由二次函數y=x2-6x+8的圖像可知24.

設log14 x=t，∵24，

-1log14 x-12，即-1-12.

f(x)=t2-t+5對稱軸為t=12，

f(x)=t2-t+5在-1，-12單調遞減，

故f(x)max=1+1+5=7，

f(x)min=-122+12+5=234.

綜上得f(x)的最小值為234，最大值為7.

20.(13分)已知函數f(x)=ax+k(a0，且a1)的圖像過(-1,1)點，其反函數f-1(x)的圖像過點(8,2).

(1)求a，k的值;

(2)若將其反函數的圖像向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，就得到函數y=g(x)的圖像，寫出y=g(x)的解析式;

(3)若g(x)3m-1在[2，+)恆成立，求實數m的取值範圍.

解 (1)由題意得a-1+k=1，a2+k=8. 解得a=2，k=1.

(2)由(1)知f(x)=2x+1，得

f-1(x)=log2x-1，將f-1(x)的圖像向左平移2個單位，得到y=log2(x+2)-1，再向上平移到1個單位，得到y=g(x)=log2(x+2).

(3)由g(x)3m-1在[2，+)恆成立，

只需g(x)min3m-1即可.

而g(x)min=log2(2+2)=2，

即23m-1，得m1.

21.(14分)有時可用函數f(x)=0.1+15lnaa-xx6，x-4.4x-4x6.)描述學習某科知識的掌握程度.其中x表示某學科知識的學習次數(xN+)，f(x)表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關.

(1)根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區間分別為(100,106]，(106,112]，(112,123]，當學習某學科知識4次時，掌握程度為70%，請確定相應的學科;

(2)證明：當x7時，掌握程度的增大量f(x+1)-f(x)總是下降.(參考數據e0.04=1.04)

解 (1)由題意可知0.1+15lnaa-4=0.70，整理得aa-4=e0.04，得a=104(100,106]，由此可知，該學科是甲學科.

(2)證明：當x7時，f(x+1)-f(x)=0.4x-3x-4，

而當x7時，函數y=(x-3)(x-4)單調遞增;

且(x-3)(x-4)0.

故f(x+1)-f(x)單調遞減，

當x7時，掌握程度的增大量f(x+1)-f(x)總是下降.